【題目】如圖,等腰RtBPQ的頂點P在正方形ABCD的對角線AC上(PAC不重合),∠PBQ=90°,QPBC交于E,QP延長線交ADF,連CQ.

(1)①求證:AP=CQ

②求證:

(2)當(dāng)時,求的值.

【答案】(1)①證明見解析;②證明見解析;(2)

【解析】

1)①證出∠ABP=CBQ,由SAS證明△ABP≌△CBQ可得結(jié)論;
②根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到∠DAC=BAC,∠APF=ABP,即可證得△APF∽△ABP,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解;

(2)設(shè)正方形邊長為,根據(jù)已知條件可求得PA的長,再根據(jù)第(1)②的結(jié)論可求得AF的長,從而求得答案.

證明:

1)①∵四邊形ABCD是正方形,

AB=BC,∠ABC=90°,

∵△PBQ為等腰直角三角形,

∴∠PBQ=90°PB=BQ,

∵∠ABP+BPC =BPC+CBQ=

∴∠ABP=CBQ,

ABPCBQ中,

∴△ABP≌△CBQ

AP=CQ;

②如圖,

∵∠CPB=3+4=1+2

∵∠4=1=45°

∴∠3=2,

∴∠5=2,

∵∠6=1=45°,

∴△PFA∽△BPA,

(2)設(shè)正方形邊長為,則,

,

,

PA=,

,

解得:AF=

DF=

.

練習(xí)冊系列答案
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