Question

在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（ 2，0 ），（4，0），點C的坐標為（m，

3

m）（m為非負數(shù)），則CA+CB的最小值是

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：分別得到點C的坐標所在直線，點A關(guān)于點C的坐標所在直線的對稱點的坐標A′所在直線AA′的解析式，求得兩條直線的交點，進一步得到A′點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求解．

解答：解：如圖所示：
∵點C的坐標為（m，

3

m）（m為非負數(shù)），
∴點C的坐標所在直線為y=

3

x，
點A關(guān)于直線y=

3

x的對稱點的坐標為A′，則AA′所在直線為y=-

3

3

x+b，
把點A的坐標（ 2，0 ）代入得-

3

3

×2+b=0，
解得b=

2 3

3

．
故AA′所在直線為y=-

3

3

x+

2 3

3

．
聯(lián)立C的坐標所在直線和AA′所在直線可得

y= 3 x y=- 3 3 x+ 2 3 3

，
解得

x= 1 2 y= 3 2

，
∴C的坐標所在直線和AA′所在直線的交點M的坐標為（

1

2

，

3

2

），
∴點A關(guān)于直線y=

3

x的對稱點的坐標為（-1，

3

），
∴A′B=

(4+1)2+(0- 3 )2

=

28

=2

7

，即CA+CB的最小值．
故答案為：2

7

．

點評：本題考查軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．