Question

如圖①所示，在正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB的延長線上一點(diǎn)，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于點(diǎn)N．

（1）求證：MD＝MN；

（2）若將上述條件中“M是AB的中點(diǎn)”改成“M是AB上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，如圖②所示，則結(jié)論“MD＝MN”還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖①所示，取AD的中點(diǎn)F，連接MF．

∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，

∴，．

∵AB＝AD，∴AF＝AM＝DF＝MB，

∵∠1＝45°，∴∠DFM＝135°．

∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝45°．

∴∠MBN＝135°，∴∠MBN＝∠DFM．

∵M(jìn)N⊥DM，∴△DMN＝90°，∴∠NMB＋∠DMA＝90°．

∵∠A＝90°，∴∠ADM＋∠DMA＝90°．

∴∠NMB＝∠ADM．

∴△DFM≌△MBN．∴MD＝MN．

（2）MD＝MN仍成立．

證明：如圖②，在AD上取點(diǎn)F，使AF＝AM，連接MF．

由（1）中證法可得DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，

∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN．

【解析】

試題分析：（1）證MD＝MN，可證它們所在的三角形全等，易知MN在鈍角△MBN中，而MD在直角△AMD中，顯然需添加輔助線構(gòu)造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取AD的中點(diǎn)F，構(gòu)造△MDF；（2）可參照第（1）題的方法論證．

證明：（1）如圖①所示，取AD的中點(diǎn)F，連接MF．

∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，

∴，．

∵AB＝AD，∴AF＝AM＝DF＝MB，

∵∠1＝45°，∴∠DFM＝135°．

∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝45°．

∴∠MBN＝135°，∴∠MBN＝∠DFM．

∵M(jìn)N⊥DM，∴△DMN＝90°，∴∠NMB＋∠DMA＝90°．

∵∠A＝90°，∴∠ADM＋∠DMA＝90°．

∴∠NMB＝∠ADM．

∴△DFM≌△MBN．∴MD＝MN．

（2）MD＝MN仍成立．

證明：如圖②，在AD上取點(diǎn)F，使AF＝AM，連接MF．

由（1）中證法可得DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，

∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN．

【難度】困難