Question

如圖△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于D，E為弧BD的中點，AM平分∠BAC，求證：AM⊥CE．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：證明題

分析：連接CD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由E為弧BD的中點得∠2=∠3，由BC為直徑得到∠BDC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠B=∠4，再利用三角形外角性質(zhì)得∠1=∠B+∠3，所以∠1=∠4+∠3=∠4+∠2，則AF=AC，加上AM平分∠BAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到AM⊥CE．

解答：證明：連接CD，如圖，
∵E為弧BD的中點，
∴∠2=∠3，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠2+∠3=90°，
而∠4+∠2+∠3=90°，
∴∠B=∠4，
∵∠1=∠B+∠3，
∴∠1=∠4+∠3=∠4+∠2，
∴AF=AC，
∵AM平分∠BAC，
∴AM⊥CE．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．也考查了圓周角定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)．