Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A、B以及直線l，AE⊥l，垂足為點(diǎn)E．

（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l，垂足為點(diǎn)F；

（2）在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA＝CB；

（要求：第（1）、（2）小題用尺規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母，保留作圖痕跡，不寫作法．）

（3）在所作的圖中，連接CA、CB，若∠ACB＝90°，求證：△AEC≌△CFB．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析；

【解析】

（1）利用尺規(guī)作圖法，任取一點(diǎn)，使點(diǎn)在點(diǎn)B的兩側(cè)，以B點(diǎn)為圓心，B點(diǎn)到該點(diǎn)的長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于兩點(diǎn)一半距離為半徑畫弧，兩弧相交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)B與該點(diǎn)與直線l交于點(diǎn)F，即為所求點(diǎn)；

（2）利用尺規(guī)作圖法，在線段AB的兩端點(diǎn)用同一半徑畫弧，在線段的兩旁各得一個(gè)交點(diǎn)，將此兩交點(diǎn)連接起來(lái)，這個(gè)連線即為線段的垂直平分線，與直線l交于點(diǎn)C，即為所求點(diǎn)；

（3）首先由AE⊥l，得出∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°，再由∠ACB＝90°，∠3+∠2＝90°，得出∠1＝∠3，即可判定△AEC≌△CFB.

（1）解：如圖，直線BF就是要求作的垂線；

（2）解：如圖，點(diǎn)C就是所要求作的點(diǎn)；

（3）證明：∵AE⊥l，

∴∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°．

∵∠ACB＝90°，

∴∠3+∠2＝90°．

∴∠1＝∠3，

在△AEC和△CFB中

∴△AEC≌△CFB （AAS）．