Question

如圖，在邊長為7的正方形ABCD中，點M是對角線BD上的一點，過點M作ME∥CD交BC于點E，作MF∥BC交CD于點F．請解答下列問題：
（1）試探究線段AM與EF的大小關(guān)系并說明理由；
（2）若BE=4，求AM的長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）可先證明四邊形APMQ是矩形，再證明△ABM≌△CBM，可證得AM=CM=EF；
（2）先求得EC，由勾股定理可求得EF，由（1）可得AM的長．

解答：解：（1）AM=EF，
理由：∵ME∥CD，MF∥BC，∠C=90°，
∴四邊形CEMF是矩形，
∴CM=EF，
連接MC，

在△ABM和△CBM中，

AB=BC ∠ABM=∠CBM BM=BM

，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM=EF；
（2）∵BC=7，BE=4，
∴EC=3，
在Rt△EFC中，可求得EF=5，
∴AM=EF=5．

點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)及矩形的判定，先判定出四邊形CEMF是矩形得到CM=EF是解題的關(guān)鍵．