Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得△A′B′C．E為AC的中點，A′B′中點為P，AC=4cm，則EP的最大值為

 

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Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：連結(jié)CP，如圖1，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AB=2AC=8，由E為AC的中點得CE=2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A′B′=AB=8，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)易得CP=

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2

A′B′=4，于是根據(jù)三角形三邊的關(guān)系有PE＜CE+PC，所以只有當(dāng)點P在CE的延長線上時，PE最大，此時PE=CE+PC=6，如圖2．

解答：解：連結(jié)CP，如圖1，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
∵E為AC的中點，
∴CE=2，
∵△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），
∴A′B′=AB=8，
∵點P為A′B′的中點，
∴CP=

1

2

A′B′=4，
∵PE＜CE+PC，
∴只有當(dāng)點P在CE的延長線上時，PE=CE+PC，此時PE最大，如圖2，
即PE的最大值為2+4=6．
故答案為6．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．