【題目】如圖,已知一條直線過點(0,4),且與拋物線y= x2交于A,B兩點,其中點A的橫坐標是﹣2.
(1)求這條直線的函數關系式及點B的坐標.
(2)在x軸上是否存在點C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出點C的坐標,若不存在,請說明理由.
(3)過線段AB上一點P,作PM∥x軸,交拋物線于點M,點M在第一象限,點N(0,1),當點M的橫坐標為何值時,MN+3MP的長度最大?最大值是多少?
【答案】
(1)解:∵點A是直線與拋物線的交點,且橫坐標為﹣2,
∴y= ×(﹣2)2=1,A點的坐標為(﹣2,1),
設直線的函數關系式為y=kx+b,
將(0,4),(﹣2,1)代入得 ,
解得 ,
∴直線y= x+4,
∵直線與拋物線相交,
∴ x+4= x2,
解得:x=﹣2或x=8,
當x=8時,y=16,
∴點B的坐標為(8,16)
(2)如圖1,連接AC,BC,
∵由A(﹣2,1),B(8,16)可求得AB2=325.
設點C(m,0),同理可得AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5,
BC2=(m﹣8)2+162=m2﹣16m+320,
①若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320,
解得:m=﹣ ;
②若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2,即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320,
解得:m=0或m=6;
③若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2,即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325,
解得:m=32;
∴點C的坐標為(﹣ ,0),(0,0),(6,0),(32,0)
(3)解:設M(a, a2),如圖2,設MP與y軸交于點Q,
在Rt△MQN中,由勾股定理得MN= = a2+1,
又∵點P與點M縱坐標相同,
∴ +4= a2,
∴x= ,
∴點P的橫坐標為 ,
∴MP=a﹣ ,
∴MN+3PM= +1+3(a﹣ )=﹣ a2+3a+9,
∴當a=﹣ =6,
又∵2≤6≤8,
∴取到最大值18,
∴當M的橫坐標為6時,MN+3PM的長度的最大值是18.
【解析】(1)由拋物線的解析式可求得點A的縱坐標,然后利用待定系數法確定直線的解析式,將直線和拋物線的解析式聯立可求得交點的坐標;
(2)過點B作BG∥x軸,過點A作AG∥y軸,交點為G,然后分若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2;若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2;若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值,從而確定點C的坐標;
(3)設M(a,a2),MP與y軸交于點Q,在Rt△MQN中依據勾股定理可求得MN的長(用含a的式子表示),然后根據點P與點M縱坐標相同得到x=,從而得到MN+3PM關于a的函數關系是,最后,依據二次函數的性質可得到MN+3PM的長度的最大值.
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【題目】輪船沿江從A港順流行駛到B港,比從B港返回A港少用3小時,若船速為26千米/時,水速為2千米/時,求A港和B港相距多少千米.設A港和B港相距x千米.根據題意,可列出的方程是:( )
A.B.
C.D.
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【題目】閱讀以下材料:對于三個數a,b,c,用M{a,b,c}表示這三個數的平均數,用min{a,b,c}表示這三個數中最小的數.例如:M{﹣1,2,3}==;min{﹣1,2,3}=﹣1;min{﹣1,2,a}=
解決下列問題:
(1)若min{2,2x+2,4﹣2x}=2,則x的范圍__________;
(2)①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x;
②根據①,你發(fā)現了結論“如果M{a,b,c}=min{a,b,c},那么__________(填a,b,c的大小關系)”.
③運用②的結論,若M{2x+y+2,x+2y,2x﹣y}=min{2x+y+2,x+2y,2x﹣y},求x+y的值.
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【題目】如圖,線段AB上有一任意點C,點M是線段AC的中點,點N是線段BC的中點,當AB=6cm時,
(1)求線段MN的長.
(2)當C在AB延長線上時,其他條件不變,求線段MN的長.
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【題目】如圖,一次函數y1=kx+b和反比例函數y2= 的圖象交于A、B兩點.
(1)求一次函數y1=kx+b和反比例函數y2= 的解析式;
(2)觀察圖象寫出y1<y2時,x的取值范圍為;
(3)求△OAB的面積.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=10,∠C=30°點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒(t>0),過點D作DF⊥BC于點F,連接DE、EF.
(1)DF= ;(用含t的代數式表示)
(2)求證:△AED≌△FDE;
(3)當t為何值時,△DEF是等邊三角形?說明理由;
(4)當t為何值時,△DEF為直角三角形?(請直接寫出t的值.)
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【題目】如圖1,直線與直線交于點,.小明將一個含的直角三角板如圖1所示放置,使頂點落在直線上,過點作直線交直線于點(點在左側).
(1)若,,則__________.
(2)若的角平分線交直線于點,如圖2.
①當,時,求證:.
②小明將三角板保持并向左平移,運動過程中,__________.(用表示).
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