Question

如圖，拋物線y=-

3

4

x²+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與直線y=-

3

4

x+b相交于B，C兩點(diǎn)，連結(jié)A，C兩點(diǎn)．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值．若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，再將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入直線的解析式中，然后得出b的值即可；
（2）首先求出C點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出△ABC的面積；
（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)Q，用未知數(shù)設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，即可得到線段PQ的長度表達(dá)式，以PQ為底、C到B的水平距離為高，即可得到△PBC的面積函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

3

4

x²+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴y=0時(shí)，0=-

3

4

x²+3，
解得：x₁=-2，x₂=2，
∴A（-2，0），B（2，0），
∵拋物線y=-

3

4

x²+3與直線y=-

3

4

x+b相交于B，C兩點(diǎn)，
∴0=-

3

4

×2+b，
解得：b=

3

2

，
故直線BC的解析式為：y=-

3

4

x+

3

2

；

（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得出：

y=- 3 4 x2+3 y=- 3 4 x+ 3 2

，
解得：

x1=2 y1=0

，

x2=-1 y2= 9 4

，
故C（-1，

9

4

），
則△ABC的面積為：

1

2

×4×

9

4

=

9

2

；

（3）過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設(shè)P（x，-

3

4

x²+3），則Q（x，-

3

4

x+

3

2

）；
∴PQ=（-

3

4

x²+3）-（-

3

4

x+

3

2

）=-

3

4

x²+

3

4

x+

3

2

；
S_△PCB=

1

2

×（-

3

4

x²+

3

4

x+

3

2

）×3=-

9

8

x²+

9

8

x+

9

4

=-

9

8

（x-

1

2

）²+

81

32

；
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=

45

16

，
所以，當(dāng)P（

1

2

，

45

16

）時(shí)，△PCB的面積最大為

81

32

．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意距離最短問題的求解關(guān)鍵是點(diǎn)的確定，還要注意面積的求解可以借助于圖形的分割與拼湊，特別是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．