【題目】拋物線y=﹣ (x﹣1)2+3與y軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B,對稱軸BC與x軸交于點(diǎn)C.
(1)如圖1.求點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段OC的長;
(2)點(diǎn)P在拋物線上,直線PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q,連接BQ.
①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置.其中,一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,直角頂點(diǎn)D在BQ上,另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上.求直線BQ的函數(shù)解析式;
②若含30°角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,直角頂點(diǎn)D在直線BQ上,另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:把x=0代入拋物線得:y= ,
∴點(diǎn)A(0, ).
拋物線的對稱軸為x=1,
∴OC=1
(2)
解:①如圖:B(1,3)
分別過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M,DN⊥PQ于點(diǎn)N,
∵PQ∥BC,
∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°,
∴四邊形DMQN是矩形.
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴DC=DE,∠CDM=∠EDN
即 ,
∴△CDM≌△EDN(AAS)
∴DM=DN,
∴矩形DMQN是正方形,
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q(4,0)
設(shè)BQ的解析式為:y=kx+b,
把B(1,3),Q(4,0)代入解析式得:k=﹣1,b=4.
所以直線BQ的解析式為:y=﹣x+4.
②當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸右側(cè),如圖:
過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M,DN⊥PQ于N,
∵∠CDE=90°,∴∠CDM=∠EDN
∴△CDM∽△EDN
當(dāng)∠DCE=30°, =
又DN=MQ
∴ =
∴ = ,BC=3,CQ=
∴Q(1+ ,0)
∴P1(1+ , )
當(dāng)∠DCE=60°,點(diǎn)P2(1+3 ,﹣ ).
當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的左邊時(shí),由對稱性知:
P3(1﹣ , ),P4(1﹣3 ,﹣ )
綜上所述:P1(1+ , ),P2(1+3 ,﹣ ),P3(1﹣ , ),P4(1﹣3 ,﹣ ).
【解析】(1)把x=0代入拋物線求出y的值確定點(diǎn)A的坐標(biāo),求出拋物線的對稱軸得到OC的長.(2)①由△CDE是等腰直角三角形,分別過點(diǎn)D作x軸和PQ的垂線,通過三角形全等得到∠DQO=45°,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求出BQ的解析式.②分點(diǎn)P在對稱軸的左右兩邊討論,根據(jù)相似三角形先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后代入拋物線求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】光明中學(xué)有兩塊邊長為x米的正方形空地,現(xiàn)設(shè)想按兩種方式種植草皮,方式一:如圖①,在正方形空地上留兩條寬為2m米的路,其余種植草皮;方式二:如圖②,在正方形空地四周各留一塊邊長為m米的正方形空地植樹,其余種植草皮.學(xué)校準(zhǔn)備兩種方式都用5000元購進(jìn)草皮.
(1)寫出按圖①,②兩種方式購買草皮的單價(jià);
(2)當(dāng)x=14,m=2時(shí),求按兩種方式購買草皮的單價(jià)各是多少(結(jié)果均保留整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑OB=10,截面圓圓心O到水面的距離OC是6,則水面寬AB是( )
A.16
B.10
C.8
D.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為倡導(dǎo)“低碳生活”,常選擇以自行車作為代步工具,如圖1所示是一輛自行車的實(shí)物圖.車架檔AC與CD的長分別為45cm,60cm,且它們互相垂直,座桿CE的長為20cm,點(diǎn)A,C,E在同一條直線上,且∠CAB=75°,如圖2.
(1)求車架檔AD的長;
(2)求車座點(diǎn)E到車架檔AB的距離. (結(jié)果精確到 1cm.參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75≈3.7321
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下框中的題目.
小敏與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答:
(1)特殊情況探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí),如圖1,確定線段AE與的DB大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論:AEDB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例啟發(fā),解答題目
解:題目中,AE與DB的大小關(guān)系是:AEDB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如圖2,過點(diǎn)E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F,(請你完成以下解答過程)
(3)拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在直線AB上,點(diǎn)D在直線BC上,且ED=EC.若△ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,點(diǎn)E在BC邊上,∠BAC=∠DAE,∠B=∠D, AB=AD.
(1)試說明△ABC≌△ADE;
(2)如果∠AEC=75°,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后與△ABC重合,求這個(gè)旋轉(zhuǎn)角的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市積極開展“陽光體育進(jìn)校園”活動(dòng),各校學(xué)生堅(jiān)持每天鍛煉一小時(shí),某校根據(jù)實(shí)際,決定主要開設(shè)A:乒乓球,B:籃球,C:跑步,D:跳繩四種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,為了解學(xué)生最喜歡哪一種項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖.請你結(jié)合圖中信息解答下列問題.
(1)請計(jì)算最喜歡B項(xiàng)目的人數(shù)所占的百分比.
(2)請計(jì)算D項(xiàng)所在扇形圖中的圓心角的度數(shù).
(3)請把統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市舉行知識(shí)大賽,A校、B校各派出5名選手組成代表隊(duì)參加決賽,兩校派出選手的決賽成績?nèi)鐖D所示.
(1)根據(jù)圖示填寫下表:
平均數(shù)/分 | 中位數(shù)/分 | 眾數(shù)/分 | |
A校 | ______ | 85 | ______ |
B校 | 85 | ______ | 100 |
(2)結(jié)合兩校成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)學(xué)校的決賽成績較好;
(3)計(jì)算兩校決賽成績的方差,并判斷哪個(gè)學(xué)校代表隊(duì)選手成績較為穩(wěn)定.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小李制作了一張△ABC紙片,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,現(xiàn)將△ABC沿著DE折疊壓平,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′位置.若∠A=75°,則∠1+∠2= .
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