Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線y的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若MA=MB=MC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使∠ABE=∠ACB？若存在，求出滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-2x2-4x+6;(2)M(-1，)；（3）E1（-2，6），E2（-4，-10） .

【解析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，待定系數(shù)法求解可得；；

（2）由（1）知拋物線對(duì)稱軸為直線x=-1，設(shè)H為AC的中點(diǎn)，求出直線AC的垂直平分線的解析式即可得解；

（3）①過(guò)點(diǎn)A作交y軸于點(diǎn)F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，證明ΔAOF∽ΔCOA，求得，分別求出直線AF、BC的解析式的交點(diǎn)，求出，

根據(jù)∠ABE=∠ACB求出∠ABE=2，易求E點(diǎn)坐標(biāo).

（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+6得，

，解得

∴y=-2x2-4x+6,

令x=0，則y=6,

∴C(0，6)；

（2）=-2（x+1）2+8,

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1.

設(shè)H為線段AC的中點(diǎn)，故H（，3）.

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+m，則有

，解得，，

∴y=2x+6

設(shè)過(guò)H點(diǎn)與AC垂直的直線解析式為：，

∴

∴b=

∴

∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=

∴M（-1，）

（3）①過(guò)點(diǎn)A作交y軸于點(diǎn)F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D

∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°

∴∠DAO=∠ACO

∵∠ACO=∠ACO

∴ΔAOF∽ΔCOA

∴

∴

∵OA=3,OC=6

∴

∴

直線AF的解析式為：

直線BC的解析式為：

∴，解得

∴

∴

∴∠ACB=

∵∠ABE=∠ACB

∴∠ABE=2

過(guò)點(diǎn)A作軸，連接BM交拋物線于點(diǎn)E

∵AB=4，∠ABE=2

∴AM=8

∴M（-3，8）

直線BM的解析式為：

∴，解得

∴y=6

∴E（-2，6）

②當(dāng)點(diǎn)E在x軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作，連接BE，設(shè)點(diǎn)E

∴∠ABE=2

∴m=-4或m=1（舍去）

可得E（-4，-10）

綜上所述E1（-2，6），E2（-4，-10）