【題目】如圖矩形COAB,點B(4,3),點H位于邊BC上.
直線l1:2x﹣y+3=0
直線l2:2x﹣y﹣3=0
(1)若點N為l2上第一象限的點,△AHN為等腰Rt△,求N坐標.
(2)若把l1、l2上的點構(gòu)成的圖形稱為圖形V.已知矩形AJHI的頂點J在圖形V上,I為平面系上的點,且J(x,y),求x的范圍(寫出過程).
【答案】(1)點N的坐標為(,);(2,1);(,);(2)x的取值范圍為﹣≤x<0或0<x≤或≤x≤2或≤x≤.
【解析】
(1)分點A、H、N分別為直角時的三種情況,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),設(shè)點N的坐標利用全等三角形的關(guān)系求出x的值即可得到答案;
(2)當點J在l2上,分兩種情況:點H與點B重合時與點C重合時,利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半及勾股定理求出點J的坐標,即可得到取值范圍,同樣的方法求出點J在l1上時x的取值范圍即可得到答案.
(1)①若點A為直角頂點時,點N在第一象限,連結(jié)AC,
如圖1,∠AHB>∠ACB>45°,
∴△AHN不可能是等腰直角三角形,
∴點N不存在;
②若點H為直角頂點時,點N在第一象限,如圖1,
過點N作MN⊥CB,交CB的延長線于點M,
則Rt△ABH≌Rt△HMN,
∴AB=HM=4,MN=HB,
設(shè)N(x,2x﹣3),則MN=x﹣4,
∴2x﹣3=4+3﹣(x﹣4),
x=,
∴N(,);
③若點N為直角頂點時,點N在第一象限,如圖2,
設(shè)N1(x,2x﹣3),
過點N1作N1G1⊥OA,交BC于點P1,
則Rt△AN1G1≌Rt△HM1P1,
∴AG1=N1P1=3﹣(2x﹣3),
∴x+3﹣(2x﹣3)=4,
x=2,
∴N1(2,1);
設(shè)N2(x,2x﹣3),
同理可得x+2x﹣3﹣3=4,
∴x=,
∴N2(,);
綜上所述,點N的坐標為(,);(2,1);(,);
(2)當點J在直線l2上時,
∵點J的橫坐標為x,
∴J(x,2x﹣3),
當點H和點B重合時,H(4,3),
∴AH的中點G坐標為(2,3),
∵四邊形AJHI是矩形,
∴∠AJB=90°,
∴JG=AH=2,
∴(x﹣2)2+(2x﹣3﹣3)2=4,
∴x=(點J在AB上方的橫坐標)或x=2(點J在AB下方的橫坐標),
當點H和點C重合時,H(4,0),AH的中點G'坐標為(2,),
同理:JG'=AH=,
∴(x﹣2)2+(2x﹣3﹣)2=,
∴x=(和點J在AB上方構(gòu)成的四邊形是矩形的橫坐標)或x=(和點J在AB下方構(gòu)成的四邊形是矩形的橫坐標)
∴≤x≤或≤x≤2.
當點J在l1上時,同理:﹣≤x<0或0<x≤.
綜上所述,x的取值范圍為﹣≤x<0或0<x≤或≤x≤2或≤x≤.
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【題目】如圖,在置于平面直角坐標系中,點的坐標為,點的坐標為,點是內(nèi)切圓的圓心.將沿軸的正方向作無滑動滾動,使它的三邊依次與軸重合,第一次滾動后圓心為,第二次滾動后圓心為,…,依此規(guī)律,第2020次滾動后,內(nèi)切圓的圓心的坐標是__________.
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【題目】如圖,在正方形中,對角線、相交于點,為上動點(不與、重合),作,垂足為,分別交、于、,連接、.
(1)求證:;
(2)求的度數(shù);
(3)若,,求的面積.
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【題目】如圖,在Rt△ABC的紙片中,∠C=90°,AC=5,AB=13.點D在邊BC上,以AD為折痕將△ADB折疊得到△ADB′,AB′與邊BC交于點E.若△DEB′為直角三角形,則BD的長是___.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(-2,-1),B(0,7)兩點.
(1)求該拋物線的解析式及對稱軸;
(2)當x為何值時,y>0?
(3)在x軸上方作平行于x軸的直線l,與拋物線交于C,D兩點(點C在對稱軸的左側(cè)),過點C,D作x軸的垂線,垂足分別為F,E.當矩形CDEF為正方形時,求C點的坐標.
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【題目】如圖,在△ABC中,中線BE、CF相交于點G,連接EF,下列結(jié)論:
①=; ②=; ③=; ④=.其中正確的個數(shù)有( )
A. 1個 B. C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,在平直角坐標系中,O為坐標原點,拋物線y=x2﹣mx﹣1的對稱軸為直線x=1.若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1﹣n=0(n為實數(shù))在0<x<3的范圍內(nèi)有解,則n的取值范圍是______.
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【題目】已知正方形ABCD的邊長為10,現(xiàn)改變該正方形的邊長,使其變?yōu)榫匦危?/span>AD的長增加了x,AB的長減少了kx(其中k>0,x>0).
(1)若k=2,請說明改變后得到的矩形面積是否可為125;
(2)若改變后得到的矩形面積仍為100,求x與k的數(shù)量關(guān)系.
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