Question

如圖，⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)P，A是⊙O₁上一點(diǎn)，直線AC切⊙O₂于點(diǎn)C，交⊙O₁于點(diǎn)B，直線AP交⊙O₂于點(diǎn)D．
（1）請你判斷∠BPC=∠CPD是否成立；
（2）將“⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)P”改為“⊙O₁、⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？畫出圖形并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，作輔助線；證明∠BPM=∠A；證明∠MPC=∠MCP；由∠BPC=∠A+∠ACP，∠CPD=∠A+∠ACP，得到∠BPC=∠CPD．
（2）證明∠DCP=∠CBP=90°；證明∠BCP=∠CDP，即可解決問題．

解答：解：（1）∠BPC=∠CPD成立；理由如下：
如圖1，過點(diǎn)P作兩圓的公切線MP，交AC與點(diǎn)M；則∠BPM=∠A；
∵M(jìn)C為⊙O₂的切線，
∴MP=MC，∠MPC=∠MCP；
∴∠BPC=∠CPD．
（2）如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立；理由如下：
連接CD；
∵AP、DP分別為⊙O₁、⊙O₂的直徑，
∴∠DCP=∠CBP=90°；
∵BC為⊙O₂的切線，
∴∠BCP=∠CDP，
∴∠BPC=∠CPD．

點(diǎn)評：該題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)定理、圓周角定理等幾何知識點(diǎn)來分析、判斷、解答．