Question

【題目】如圖，已知直角梯形，，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，并交射線于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；

（2）設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；

（3）如圖2，聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）BC=5；（2）；（3）的長(zhǎng)為或3或．

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，設(shè)，，在中用勾股定理求出，即可解答；

（2）聯(lián)結(jié)，，在中，，在中，，消去二次項(xiàng)即可得到與的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)結(jié)合（1）即可得出的定義域；

（3）分三種情況討論，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)相等的邊用勾股定理列方程求解即可．

解：（1）∵梯形中，，，，

∴，

∵是線段的垂直平分線，

∴，

在中，，

又∵，，設(shè)，，

，

∴，

∴．

（2）聯(lián)結(jié)，，

∵是線段的垂直平分線，

∴

∵，，

∴

在中，

在中，

∴

∴

（3）在中，，，

∴，

當(dāng)是等腰三角形時(shí)

①∵

∴

∵

∴

∴

②

取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)

∵為的中點(diǎn)

∴為梯形中位線

∴

∵

∴為中點(diǎn)，

∴此時(shí)與重合

∴

③

聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)

此時(shí)．

∴，，

∴，

∴在中，，

∵

∴解得，（不合題意含去）

∴綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或3或