Question

如圖在平面直角坐標系中，三角形AOB的邊OB與x軸重合，點A在第一象限內，且AO=AB=5，OB=6．
（1）求點B的坐標；
（2）求出直線AB的解析式；
（3）直線AB與y軸交于點C．試問是否存在這樣的一條拋物線能經過A、B、C、O中的任意三點？若不存在，說明理由；若存在，求出這條拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）B點坐標為（6，0）；

（2）過A作AE⊥x軸與E，如圖，
∵AO=AB=5，OB=6．
∴OE=3，
∴AE=4，
∴A點坐標為（3，4），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（3，4），B（6，0）代入得，3k+b=4，6k+b=0，解得k=-，b=8，
∴直線AB的解析式為y=-x+8；

（3）存在這樣的一條拋物線能經過A、B、O三點．
設拋物線的解析式為y=ax（x-6），
把A（3，4）代入得4=a•3•（-3），解得a=-，
所以這條拋物線的解析式為y=-x（x-6）=-x²+x．
分析：（1）B點坐標為（6，0）；
（2）過A作AE⊥x軸與E，根據等腰三角形的性質得OE=3，再利用勾股數得到AE=4，即有A點坐標為（3，4），然后利用待定系數法求直線AB的解析式；
（3）經過A、B、C、三點可確定一條拋物線．利用交點式求其解析式，設拋物線的解析式為y=ax（x-6），然后把A（3，4）代入得4=a•3•（-3），解得a即可．
點評：本題考查了拋物線與直線的關系：一條拋物線與一條直線最多有兩個交點，一條與y軸平行的直線與拋物線最多也只有一個交點．也考查了待定系數法求函數的解析式以及等腰三角形的性質．