Question

已知二次函數(shù)y=-x²+2bx的圖象經(jīng)過原點及x軸上正半軸另一點A，設(shè)此二次函數(shù)圖象的頂點為B．
（1）若△OAB是等腰直角三角形，求b的值；
（2）利用二次函數(shù)y=-x²+2bx的圖象，試求不等式-x²+2bx+3＞0的解集．

Answer 1

考點：二次函數(shù)與不等式（組）,拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出B點坐標(biāo)，結(jié)合對稱軸位置得出b的值；
（2）利用拋物線圖象得出不等式的解集．

解答：解：（1）∵△OAB是等腰直角三角形，
∴設(shè)B點橫坐標(biāo)為：a，則OA=2a，
故B點縱坐標(biāo)為；（a，a），
則a=-a²+2ba，-

2b

2×(-1)

=a，則a=b，
故整理得：a²-a=0，
解得：a₁=0（不合題意舍去），a₂=1，
故b=1；

（2）由（1）得：y=-x²+2x，
則y=-x²+2x+3是y=-x²+2x向上平移3個單位得到的，
故y=0時，0=-x²+2x+3
解得：x₁=-1，x₂=3，
如圖所示：不等式-x²+2bx+3＞0的解集為：-1＜x＜3．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，畫出二次函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．