Question

如圖，⊙O的半徑為2，點A的坐標為（2，2

3

），直線AB為⊙O的切線，B為切點．則B點的坐標為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì)

專題：計算題

分析：作AD⊥y軸于D，BE⊥y軸于E，AB與y軸交于C，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBA=90°，再利用“AAS”證明△OBC≌△ADC，得到OC=AC，BC=CD，設(shè)OC=t，則AC=t，CD=2

3

-t，在Rt△ACD中利用勾股定理得（2

3

-t）²+2²=t²，解得t=

4 3

3

，則BC=CD=

2 3

3

，于是根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠BOC=30°，然后在Rt△OBE中計算出BE=

1

2

OB=1，OE=

3

BE=

3

，再利用第二象限點的坐標特征寫出B點坐標．

解答：解：作AD⊥y軸于D，BE⊥y軸于E，AB與y軸交于C，如圖，
∵點A的坐標為（2，2

3

），
∴AD=2，OD=2

3

，
∵直線AB為⊙O的切線，B為切點，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
在△OBC和△ACD中，

∠OBC=∠ADC ∠OCB=∠ACD OB=AD

，
∴△OBC≌△ADC，
∴OC=AC，BC=CD，
設(shè)OC=t，則AC=t，CD=2

3

-t，
在Rt△ACD中，∵CD²+AD²=AC²，
∴（2

3

-t）²+2²=t²，解得t=

4 3

3

，
∴BC=CD=2

3

-

4 3

3

=

2 3

3

，
∴∠BOC=30°，
在Rt△OBE中，∵∠BOE=30°，
∴BE=

1

2

OB=1，
OE=

3

BE=

3

，
∴B點坐標為（-1，

3

）．
故答案為（-1，

3

）．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理．