Question

15．如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC、BD 相交于點(diǎn)O，BD=2AD，E、F分別是OC、AB的中點(diǎn)．求證：
（1）BE⊥AC；
（2）OF=$\frac{1}{4}$BD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可得BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AD=BC，再結(jié)合條件BD=2AD可證出BO=BC，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分O是BD中點(diǎn)，再由條件F是AB的中點(diǎn)可得FO是△ABD的中位線，根據(jù)中位線定理可得FO=$\frac{1}{2}$AD，再根據(jù)條件BD=2AD，
可得OF=$\frac{1}{4}$BD．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AD=BC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO=BO=BC，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中點(diǎn)，
∴BE⊥AC；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD中點(diǎn)，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴FO=$\frac{1}{2}$AD，
∵BD=2AD，
∴OF=$\frac{1}{4}$BD．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線定理和等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分．