Question

6．若關(guān)于x的一元二次方程-x²+2ax+2-3a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1，則拋物線y=-x²+2ax+2-3a的頂點(diǎn)到x軸距離的最小值是$\frac{36}{25}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1求出a的取值范圍，再得出拋物線y=-x²+2ax+2-3a頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，把a(bǔ)的取值代入即可

解答 解：∵關(guān)于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+2a+2-3a≥0}\\{-1-2a+2-3a≥0}\end{array}\right.$
∴a≤$\frac{1}{5}$，
∵拋物線y=-x²+2ax+2-3a=-（x-a）²+a²-3a+2．
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a²-3a+2）
y=-x²+2ax+2-3a的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2-3a+a²=（a-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$
∵$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{5}$
當(dāng)a=$\frac{1}{5}$時(shí)，拋物線y=-x²+2ax+2-3a的頂點(diǎn)到x軸距離最小為|2-3a+a^2|=$\frac{36}{25}$，
故答案為$\frac{36}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知一元二次方程的根與拋物線與x軸的交點(diǎn)之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)．．