Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABC的平分線BD交⊙O于D，過點D作DE⊥BC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=10．BD=8，求線段EC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）利用角平分線的定義結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB=∠DBE，進(jìn)而得出∠ODE=90°，即可得出答案；
（2）首先利用△ABD∽△EBD，則

AB

BD

=

BD

BE

=

AD

DE

，進(jìn)而得出BE，DE的長，再利用切割線定理得出答案．

解答：（1）證明：連接OD，
∵∠ABC的平分線BD交⊙O于D，
∴∠EBD=∠DBA，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠DBE，
∴DO∥BE，
∵∠E=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△EBD，
∴

AB

BD

=

BD

BE

=

AD

DE

，
∵AB=10，BD=8
∴AD=6，
∴

10

8

=

8

BE

=

6

DE

，
解得：BE=6.4，DE=4.8，
由切割線定理可得：DE²=EC×BE，
解得：EC=3.6．

點評：此題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△ABD∽△EBD是解題關(guān)鍵．