Question

已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP．設(shè)BP=t．

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．

 

Answer 1

 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，∠OBP=90°，OB=6，

在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．

∵OP²=OB²+BP²，

即²=6²+t²，

解得：t₁=2，t₂=﹣2（舍去）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）．

 

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，

∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，

∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，

∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，

∴∠OPB+∠QPC=90°，

∵∠BOP+∠OPB=90°，

∴∠BOP=∠CPQ．

又∵∠OBP=∠C=90°，

∴△OBP∽△PCQ，

∴，

由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11﹣t，CQ=6﹣m．

∴．

∴m=（0＜t＜11）．

 

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，

∴∠PEA=∠QAC′=90°，

∴∠PC′E+∠EPC′=90°，

∵∠PC′E+∠QC′A=90°，

∴∠EPC′=∠QC′A，

∴△PC′E∽△C′QA，

∴，

∵PC′=PC=11﹣t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6﹣m，

∴AC′==，

∴，

∴，

∴3（6﹣m）²=（3﹣m）（11﹣t）²，

∵m=，

∴3（﹣t²+t）²=（3﹣t²+t﹣6）（11﹣t）²，

∴t²（11﹣t）²=（﹣t²+t﹣3）（11﹣t）²，

∴t²=﹣t²+t﹣3，

∴3t²﹣22t+36=0，

解得：t₁=，t₂=，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）．

 

法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′，

∴OC′=PC′=PC=11﹣t，

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，

則PE=BO=6，OE=BP=t，

∴EC′=11﹣2t，

在Rt△PEC′中，PE²+EC′²=PC′²，

即（11﹣t）²=6²+（11﹣2t）²，

解得：t₁=，t₂=．

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）．