Question

如圖，直線y=3x+m交x軸于點A，交y軸于點B（0，3），過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PB最小，求出點P的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由直線y=3x+m交y軸于點B，求出m的值，可得出A的坐標，把A（-1，0），B（0，3），C（3，0）代入y=ax²+bx+c，即可得出拋物線的解析式，
（2）連接BC，交對稱軸一點，此點就是點P，使PA+PB最小，求出直線BC的解析式，再利用對稱軸為x=1，即可得出點P的坐標，
（3）利用①當AQ=AB時，△ABQ是等腰三角形，②當BQ=AB時，△ABQ是等腰三角形，③當BQ=AQ時，△ABQ是等腰三角形，分別求出點Q的坐標．

解答：解：（1）∵直線y=3x+m交y軸于點B（0，3），
∴m=3，
∴直線y=3x+3，
∴A（-1，0），
把A（-1，0），B（0，3），C（3，0）代入y=ax²+bx+c，得

0=a-b+c c=3 0=9a+3b+c

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3，
（2）如圖1，連接BC，交對稱軸一點，此點就是點P，使PA+PB最小，

∵A，C關于對稱軸對稱，
∴此時PA+PB最小，
∵B（0，3），C（3，0）
∴直線BC的解析式為：y=-x+3，
∵對稱軸為x=1，
∴P（1，2），
（3）存在
①如圖2，當AQ=AB時，△ABQ是等腰三角形，

∵AB=

10

，
∴AQ=

OD2+DQ2

=

22+DQ2

=

10

∴DQ=±

6

，
∴Q₁（1，

6

），Q₂（1，-

6

），
②如圖3，當BQ=AB時，△ABQ是等腰三角形，

∵OA=1，OQ=1
∴Q₃（1，0），
③如圖4，當BQ=AQ時，△ABQ是等腰三角形，

設Q（1，t），
∵A（-1，0），B（0，3），
∴（1+1）²+t²=1²+（t-3）²，解得t=1，
∴Q₄（1，1）
綜上的所述，Q₁（1，

6

），Q₂（1，-

6

），Q₃（1，0），Q₄（1，1）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，解題的關鍵是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識求解．