Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊DC、AB的中點(diǎn)，AE、CF分別與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)G、H，設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，分別求

GE

、

CH

關(guān)于向量

a

、

b

的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：*平面向量

專(zhuān)題：

分析：求出△ABG和△EDG相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

EG

AG

=

DE

AB

，再表示出

DE

，然后利用向量三角形法則求出

AE

，再求解即可；同理求出

CH

FH

，然后求出

CD

、

CB

，利用向量三角形法則求出

CF

，然后求解即可．

解答：解：∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DE=

1

2

CD=

1

2

AB，AB∥CD，
∴△ABG∽△EDG，
∴

EG

AG

=

DE

AB

=

1

2

，
∵

AB

=

a

，
∴

DE

=

1

2

a

，
由向量三角形法則得，

AE

=

AD

+

DE

=

1

2

a

+

b

；
∴

GE

=

1

1+2

AE

=

1

3

AE

=

1

6

a

+

1

3

b

；
同理可得

CH

FH

=2，
∵

AB

=

a

，

AD

=

b

，
∴

CD

=-

a

，

CB

=-

b

，
∴

BF

=-

1

2

a

，
由向量三角形法則得，

CF

=

BF

+

CB

=-

1

2

a

-

b

，
∴

CH

=

2

1+2

CF

=

2

3

（-

1

2

a

-

b

）=-

1

3

a

-

2

3

b

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平面向量問(wèn)題，熟記平行四邊形法則和三角形法則是解題的關(guān)鍵．