【題目】(1) 如圖1,MA1∥NA2,則∠A1+∠A2=_________度.
如圖2,MA1∥NA3,則∠A1+∠A2+∠A3=_________ 度.
如圖3,MA1∥NA4,則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_________度.
如圖4,MA1∥NA5,則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________度.
如圖5,MA1∥NAn,則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=_________ 度.
(2) 如圖,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分線相交于F,∠E=80°,求∠BFD的度數(shù).
【答案】(1) 180; 360; 540;720;180(n-1);(2)140°.
【解析】試題分析:(1)首先過各點作MA 1 的平行線,由MA 1 ∥NA 2 ,可得各線平行,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,即可求得答案;
(2)由(1)中的規(guī)律可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°,所以∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°,又因為BF、DF平分∠ABE和∠CDE,所以∠FBE+∠FDE=140°,又因為四邊形的內(nèi)角和為360°,進而可得答案.
試題解析:(1)如圖1,
∵MA 1 ∥NA 2 ,
∴∠A 1 +∠A 2 =180°.
如圖2,過點A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M,
∵MA 1 ∥NA 3 ,
∴A 2 C 1 ∥A 1 M∥NA 3 ,
∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°,∠C 1 A 2 A 3 +∠A 3 =180°,
∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 =360°.
如圖3,過點A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M,過點A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M,
∵MA 1 ∥NA 3 ,
∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ,
∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°,∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°,∠C 2 A 3 A 4 +∠A 4 =180°,
∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 =540°.
如圖4,過點A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M,過點A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M,
∵MA 1 ∥NA 3 ,
∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ,
∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°,∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°,∠C 2 A 3 A 4 +∠A 3 A 4 C 3 =180°,∠C 3 A 4 A 5 +∠A 5 =180°,
∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 +∠A 5 =720°;
從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了規(guī)律:如圖5,MA 1 ∥NA n ,則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180(n-1)度,
故答案為:180,360,540,720,180(n-1);
(2)由(1)可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°,
∵∠E=80°,
∴∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°,
又∵BF、DF平分∠ABE和∠CDE,
∴∠FBE+∠FDE=140°,
∵∠FBE+∠E+∠FDE+∠BFD=360°,
∴∠BFD=360°-80°-140°=140°.
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì):兩直線平行,同旁內(nèi)角互補、四邊形的內(nèi)角和是360°,解題的關(guān)鍵是,(1)小題正確添加輔助線,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:MA 1 ∥NA n ,則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180(n-1)度;(2)小題能應用(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.
【題型】解答題
【結(jié)束】
28
【題目】已知如圖1,線段AB、CD相交于點O,連結(jié)AC、BD,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”,那么在這一個簡單的圖形中,到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢?下面就請你發(fā)揮聰明才智,解決以下問題:
(1)在圖1中,請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)仔細觀察,在圖2中“8字形”的個數(shù)有 個;
(3)在圖2中,若∠B=76°,∠C=80°,∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P,并且與CD、AB分別相交于M、N利用(1)的結(jié)論,試求∠P的度數(shù);
(4)在圖3中,如果∠B和∠C為任意角,并且AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線,即∠PAO=∠CAO, ∠BDP=∠BOD,那么∠P與∠C、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系是 (直接寫出結(jié)論即可).
【答案】(1) ∠A+∠C=∠B+∠D;證明見解析;(2)6;(3)78°;(4)∠P=
【解析】試題分析:(1)根據(jù)對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理可得解;
(2)根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點,根據(jù)交點寫出“8字形”的三角形,然后確定即可;
(3)在圖2中,由∠C=80°,∠B=76°,可求∠P的度數(shù);
(4)由(3)中的結(jié)論可得解.
試題解析:(1)在△AOC中,∠AOC=180°-∠A-∠C,
在△DOB中,∠BOD=180°-∠D-∠B,
∵∠AOC=∠BOD
∴180°-∠A-∠C=180°-∠D-∠B
∴∠A+∠C=∠B+∠D
(2)交點有點M、N各有1個,交點O有4個,所以,“8字形”圖形共有6個;
(3)∵∠B=76°,∠C=80°,
∴∠OAC+80°=∠ODB+76°,
∴∠ODB-∠OAC =4°,
∵AP、DP分別是∠CAO、∠BDO的角平分線
∴∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO
又∵∠CAM+∠C=∠PDO+∠P
∴∠P=∠CAM+∠C-∠PDO= (∠CAO-∠BDO)+∠C=-2°+80°=78°
(4)由(3)可知∠P=∠CAM+∠C-∠PDO,
當AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線時,則有
∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO
∴∠P= (∠CAO-∠BDO)+∠C,
又∵由(3)知∠CAO-∠BDO=∠B-∠C
∴∠P=∠B-∠C+∠C=∠B+∠C
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A(﹣2,4),B(4,2),C(2,﹣1)
(1)作△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1,寫出點C關(guān)于x軸的對稱點C1的坐標;
(2)P為x軸上一點,請在圖中畫出使△PAB的周長最小時的點P并直接寫出此時點P的坐標(保留作圖痕跡).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b.
①填空:當點A位于 時,線段AC的長取得最大值,且最大值為 (用含a,b的式子表示)
(2)應用:點A為線段BC外一動點,且BC=3,AB=1,如圖2所示,分別以AB、AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.
①請找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;
②直接寫出線段BE長的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB=AC,直徑AD交BC于點E,F(xiàn)是OE上的一點,使CF∥BD.
(1)求證:BE=CE;
(2)試判斷四邊形BFCD的形狀,并說明理由;
(3)若BC=8,AD=10,求CD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在半徑為5的⊙O中,弦AB=8,P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點,連接AP,過點A作AP的垂線交射線PB于點C,當△PAB是等腰三角形時,線段BC的長為______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某玩具廠有4個車間,某周是質(zhì)量檢查周,現(xiàn)每個車間都原有a(a>0)個成品,且每個車間每天都生產(chǎn)b(b>0)個成品,質(zhì)量科派出若干名檢驗員周一、周二檢驗其中兩個車間原有的和這兩天生產(chǎn)的所有成品,然后,周三到周五檢驗另外兩個車間原有的和本周生產(chǎn)的所有成品,假定每名檢驗員每天檢驗的成品數(shù)相同.
(1)這若干名檢驗員1天共檢驗多少個成品?(用含a、b的代數(shù)式表示)
(2)若一名檢驗員1天能檢驗b個成品,則質(zhì)量科至少要派出多少名檢驗員?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)(a≠0)的圖象如圖所示,則下列命題中正確的是( 。
A. a >b>c
B. 一次函數(shù)y=ax +c的圖象不經(jīng)第四象限
C. m(am+b)+b<a(m是任意實數(shù))
D. 3b+2c>0
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】據(jù)官方數(shù)據(jù)統(tǒng)計,70周年國慶閱兵網(wǎng)上總觀看人次突破513000000,最高同時在線人數(shù)突破600萬.將513000000用科學記數(shù)法表示應為( )
A.5.13×108B.5.13×109C.513×106D.0.513×109
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