【題目】如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點，連接AP，過點A作AP的垂線交射線PB于點C，當△PAB是等腰三角形時，線段BC的長為______．

【答案】8,,

【解析】試題分析：（1）當AB=AP時，如圖（1），作OH⊥AB于點H，延長AO交PB于點G；∵AB=AP，∴，∵AO過圓心，∴AG⊥PB，∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，∵OH⊥AB，∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，∵∠AOB=2∠P，∴∠AOH=∠P，∵OA=5，AH=4，∴OH=3，∵∠OAH=∠PAG，∴sin∠OAH=sin∠PAG，∴，∴PG=，∵∠AOH=∠P，∴cos∠AOH=cos∠P，，∴，∴BC=PC－2PG=；

（2）當PA=PB時，如圖（2），延長PO交AB于點K，類似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，∴PB=PA==，∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK，∴，∴，∴BC=PC－PB=；

（3）當BA=BP時，如圖（3），∵BA=BP，∴∠P=∠BAP，∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，∴∠C=∠CAB，∴BC=AB=8．

故答案為：或或．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），

C（3，4）

⑴ 作出與△ABC關于y軸對稱△A1B1C1，并寫出 三個頂點的坐標為：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；

⑵ 在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標；

⑶ 在 y 軸上是否存在點 Q，使得S△AOQ=S△ABC，如果存在，求出點 Q 的坐標，如果不存在，說明理由。

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖, ⊙O 的半徑是2，直線l與⊙O 相交于A、B 兩點,M、N 是⊙O 上的兩個動點，且在直線l的異側,若∠AMB＝45°,則四邊形MANB 面積的最大值是 ．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】和數(shù)軸上的點一一對應的是（ ）

A.有理數(shù)B.無理數(shù)C.實數(shù)D.整數(shù)和分數(shù)

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國西南五省市的部分地區(qū)發(fā)生嚴重旱災，為鼓勵節(jié)約用水，某市自來水公司采取分段收費標準，右圖反映的是每月收取水費y（元）與用水量x（噸）之間的函數(shù)關系．

（1）小明家五月份用水8噸，應交水費______ 元；

（2）按上述分段收費標準，小明家三、四月份分別交水費26元和18元，問四月份比三月份節(jié)約用水多少噸？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(1) 如圖1，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2=_________度．

如圖2，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3=_________ 度．

如圖3，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_________度．

如圖4，MA1∥NA5，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________度．

如圖5，MA1∥NAn，則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=_________ 度．

(2) 如圖,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分線相交于F,∠E=80°，求∠BFD的度數(shù).

【答案】（1） 180； 360； 540；720；180（n-1）；（2）140°.

【解析】試題分析：（1）首先過各點作MA 1 的平行線，由MA 1 ∥NA 2 ，可得各線平行，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得答案；

（2）由（1）中的規(guī)律可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，所以∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°，又因為BF、DF平分∠ABE和∠CDE，所以∠FBE+∠FDE=140°，又因為四邊形的內(nèi)角和為360°，進而可得答案．

試題解析：（1）如圖1，

∵MA 1 ∥NA 2 ，

∴∠A 1 +∠A 2 =180°．

如圖2，過點A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，

∵MA 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 3 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 =360°．

如圖3，過點A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，過點A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M，

∵MA 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°，∠C 2 A 3 A 4 +∠A 4 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 =540°．

如圖4，過點A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，過點A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M，

∵MA 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°，∠C 2 A 3 A 4 +∠A 3 A 4 C 3 =180°，∠C 3 A 4 A 5 +∠A 5 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 +∠A 5 =720°；

從上述結論中你發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：如圖5，MA 1 ∥NA n ，則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180（n-1）度，

故答案為：180，360，540，720，180（n-1）；

（2）由（1）可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，

∵∠E=80°，

∴∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°，

又∵BF、DF平分∠ABE和∠CDE，

∴∠FBE+∠FDE=140°，

∵∠FBE+∠E+∠FDE+∠BFD=360°，

∴∠BFD=360°-80°-140°=140°．

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補、四邊形的內(nèi)角和是360°，解題的關鍵是，（1）小題正確添加輔助線，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：MA 1 ∥NA n ，則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180（n-1）度；（2）小題能應用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

【題型】解答題
【結束】
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【題目】已知如圖1，線段AB、CD相交于點O，連結AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮聰明才智，解決以下問題：

(1)在圖1中，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)有 個；

(3)在圖2中，若∠B＝76°，∠C＝80°，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N利用(1)的結論，試求∠P的度數(shù)；

(4)在圖3中，如果∠B和∠C為任意角，并且AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線，即∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BOD，那么∠P與∠C、∠B之間存在的數(shù)量關系是 （直接寫出結論即可）．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖 (1)，已知△ABC是等邊三角形，以BC為直徑的⊙O交AB、AC于D、E.求證：

(1)△DOE是等邊三角形.

(2)如圖(2)，若∠A=60°，AB≠AC， 則(1)中結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某商場用36000元購進甲、乙兩種商品，銷售完后共獲利6000元．其中甲種商品每件進價120元，售價138元；乙種商品每件進價100元，售價120元．

（1）該商場購進甲、乙兩種商品各多少件？

（2）商場第二次以原進價購進甲、乙兩種商品，購進乙種商品的件數(shù)不變，而購進甲種商品的件數(shù)是第一次的2倍，甲種商品按原售價出售，而乙種商品打折銷售．若兩種商品銷售完畢，要使第二次經(jīng)營活動獲利不少于8160元，乙種商品最低售價為每件多少元？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在邊長為10的等邊中，點從點出發(fā)沿射線移動，同時點從點出發(fā)沿線段的延長線移動，點、移動的速度相同， 與直線相交于點.

（1）如圖①，當點為的中點時，

（I）求證： ；（II）求的長；

（2）如圖②，過點作直線的垂線，垂足為，當點、在移動的過程中，試確定的數(shù)量關系，并說明理由.

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