Question

如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C＝90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.

(1)求證：AC是⊙O的切線；

(2)已知sin A＝，⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）6－π

【解析】

(1)證明：連接OE.∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB，

∵BE是△ABC角平分線，

∴∠OBE＝∠EBC，∴∠OEB＝∠EBC，

∴OE∥BC.

∵∠C＝90°，∴∠AEO＝∠C＝90°，

∴AC是⊙O的切線．

(2)【解析】
連接OF.

∴sin A＝，∴∠A＝30°.

∵⊙O的半徑為4，∴AO＝2OE＝8，

∴AE＝4，∠AOE＝60°，∴AB＝12，

∴BC＝AB＝6，AC＝6，

∴CE＝AC－AE＝2.

∴OB＝OF，∠ABC＝60°，

∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB＝60°，CF＝6－4＝2，∴∠EOF＝60°.

∴S梯形OECF＝×(2＋4)×2＝6.

S扇形EOF＝＝π.

∴S陰影部分＝S梯形OECF－S扇形EOF＝6－π.