Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，-1），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）判斷△MAB的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）過(guò)原點(diǎn)的任意直線(xiàn)（不與y軸重合）交拋物線(xiàn)于C、D兩點(diǎn)，連接MC，MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）待定系數(shù)法即可解得．
（2）由拋物線(xiàn)的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形．
（3）分別過(guò)C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)，交x軸于E、F，過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)交EC于G，交DF于H，設(shè)D（m，m²-1），C（n，n²-1），通過(guò)EG∥DH，得出

EC

DF

=

OE

OF

，從而求得m、n的關(guān)系，根據(jù)m、n的關(guān)系，得出△CGM∽△MHD，利用對(duì)應(yīng)角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，-1），
∴

- b 2 =0 4c-b2 4 =-1

，解得b=0，c=-1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²-1．

（2）△MAB是等腰直角三角形．
由拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²-1可知A（-1，0），B（1，0），
∴OA=OB=OM=1，
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，
∴△MAB是等腰直角三角形．


（3）MC⊥MD；
分別過(guò)C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)，交x軸于E、F，過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)交EC延長(zhǎng)線(xiàn)于G，交DF于H，
設(shè)D（m，m²-1），C（n，n²-1），
∴OE=-n，CE=1-n²，OF=m，DF=m²-1，
∵OM=1，
∴CG=n²，DH=m²，
∵EG∥DH，
∴

EC

DF

=

OE

OF

，
即

1-n2

m2-1

=

-n

m

，
m（1-n²）=-n（m²-1），
m-mn²=-m²n+n，
（m²n-mn²）=-m+n，
mn（m-n）=-（m-n），
∴mn=-1
解得m=-

1

n

，
∵

CG

GM

=

n2

-n

=-n，

MH

DH

=

m

m2

=

1

m

=-n，
∴

CG

GM

=

MH

DH

，
∵∠CGM=∠MHD=90°，
∴△CGM∽△MHD，
∴∠CMG=∠MDH，
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°，
∴∠CMD=90°，
即MC⊥MD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)是本題的關(guān)鍵．