Question

【題目】暑假期間，某學(xué)校計(jì)劃用彩色的地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓門(mén)前一塊矩形操場(chǎng)ABCD的地面．已知這個(gè)矩形操場(chǎng)地面的長(zhǎng)為100m，寬為80m，圖案設(shè)計(jì)如圖所示：操場(chǎng)的四角為小正方形，陰影部分為四個(gè)矩形，四個(gè)矩形的寬都為小正方形的邊長(zhǎng)，在實(shí)際鋪設(shè)的過(guò)程總，陰影部分鋪紅色地面磚，其余部分鋪灰色地面磚．

（1）如果操場(chǎng)上鋪灰色地面磚的面積是鋪紅色地面磚面積的4倍，那么操場(chǎng)四角的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)是多少米？

（2）如果灰色地面磚的價(jià)格為每平方米30元，紅色地面磚的價(jià)格為每平方米20元，學(xué)校現(xiàn)有15萬(wàn)元資金，問(wèn)這些資金是否能購(gòu)買(mǎi)所需的全部地面磚？如果能購(gòu)買(mǎi)所學(xué)的全部地面磚，則剩余資金是多少元？如果不能購(gòu)買(mǎi)所需的全部地面磚，教育局還應(yīng)該至少給學(xué)校解決多少資金？

Answer 1

【答案】（1）操場(chǎng)四角的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)是5米；

（2）這些資金不能購(gòu)買(mǎi)所需的全部地面磚，教育局還應(yīng)該至少給學(xué)校解決19.95﹣15=4.95萬(wàn)元資金．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x米，表示出里邊大矩形的長(zhǎng)為（100﹣2x）米，寬為（80﹣2x）米，利用灰色部分的面積=4個(gè)小正方形的面積+里邊大矩形的面積，紅色部分面積=上下兩個(gè)矩形面積+左右兩個(gè)矩形面積，根據(jù)灰色地面磚的面積是鋪紅色地面磚面積的4倍列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為小正方形的邊長(zhǎng)；

（2）設(shè)鋪矩形廣場(chǎng)地面的總費(fèi)用為y元，廣場(chǎng)四角的小正方形的邊長(zhǎng)為x米，根據(jù)等量關(guān)系“總費(fèi)用=鋪白色地面磚的費(fèi)用+鋪綠色地面磚的費(fèi)用”列出y關(guān)于x的函數(shù)，求得最小值，與15萬(wàn)元比較可得是否夠用．

試題解析：（1）設(shè)操場(chǎng)四角的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)是x米，根據(jù)題意，

得：4x2+（100﹣2x）（80﹣2x）=4[2x（100﹣2x）+2x（80﹣2x）]，

整理，得：x2﹣45x+200=0，

解得：x1=5，x2=40（舍去），

故操場(chǎng)四角的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)是5米；

（2）設(shè)鋪矩形廣場(chǎng)地面的總費(fèi)用為y元，廣場(chǎng)四角的小正方形的邊長(zhǎng)為x米，

則，y=30×[4x2+（100﹣2x）（80﹣2x）]+20×[2x（100﹣2x）+2x（80﹣2x）]

即：y=80x2﹣3600x+240000

配方得，y=80（x﹣22.5）2+199500

當(dāng)x=22.5時(shí)，y的值最小，最小值為19.95萬(wàn)元＞15萬(wàn)元，

故這些資金不能購(gòu)買(mǎi)所需的全部地面磚，教育局還應(yīng)該至少給學(xué)校解決19.95﹣15=4.95萬(wàn)元資金．