Question

如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，CD=2AD．AB=4
（1）在AB邊上求作點P，使PC+PD最小．
（2）求出（1）中PC+PD的最小值．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）作D點關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′交AB于P，P即為所求；
（2）作D′E⊥BC于E，則EB=D′A=AD，先根據(jù)等邊對等角得出∠DCD′=∠DD′C，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D′CE=∠DD′C，從而求得∠D′CE=∠DCD′，得出∠D′CE=30°，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)求得D′C=2D′E=2AB，即可求得PC+PD的最小值．

解答：解：（1）作D點關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′交AB于P，P即為所求，此時PC+PD=PC+PD′=CD′，根據(jù)兩點之間線段最短可知此時PC+PD最小．
（2）作D′E⊥BC于E，則EB=D′A=AD，
∵CD=2AD，
∴DD′=CD，
∴∠DCD′=∠DD′C，
∵∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED′是矩形，
∴DD′∥EC，D′E=AB=4，
∴∠D′CE=∠DD′C，
∴∠D′CE=∠DCD′，
∵∠C=60°，
∴∠D′CE=30°，
∴D′C=2D′E=2AB=2×4=8；
∴PC+PD的最小值為8．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，30°角的直角三角形的性質(zhì)等，確定出P點是本題的關(guān)鍵．