【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線 分別交x軸、y軸于A、B兩點.

(1)求A、B兩點的坐標;
(2)設P是直線AB上一動點(點P與點A不重合),⊙P始終和x軸相切,和直線AB相交于C、D兩點(點C的橫坐標小于點D的橫坐標).若P點的橫坐標為m,試用含有m的代數(shù)式表示點C的橫坐標;
(3)在(2)的條件下,若點C在線段AB上,當△BOC為等腰三角形時求m的值.

【答案】
(1)解:(1)當x=0時,y=4;當y=0時,- x+4=0,x=3.

∴A(3,0),B(0,4).


(2)解:設點C的橫坐標為n.由(1)知AB= =5,

∴sin∠OBA=

過C作CE⊥x軸于E,過P作PG⊥x軸于G,PF⊥CE于F,

則∠FCP=∠OBA,PF=m-n.

①當m<3時,∵PC=PG=- m+4,

∴PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA,

∴m-n=(- m+4)×

解得n= m-

②當m>3時,PC=PG= m-4,PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA,

∴m-n=( m-4)×

解得n= m+


(3)解:當點C在線段AB上時,由(2)知,C點的橫坐標n= m- ,

以下兩種情況△BOC為等腰三角形.

①當CB=CO時,

∵△OBA是直角三角形,∠BOA=90度.

∴此時C為AB的中點,

∴C點的橫坐標為

m- = ,解得m=

②當CB=OB時,

∵AB=5,

∴AC=AB-CB=1,

∴AE=ACcos∠OAB=

∵OE+AE=OA,

m- + =3,解得m=

③當OC=OB時,因為OB>OA,所以C在線段BA的延長線上,即在線段AB上不存在點C,使OC=OB。

所以,當m= 或m= 時,△BOC為等腰三角形.


【解析】(1)根據(jù)題意分別求出當x=0時和當y=0時,對應的函數(shù)值和自變量的值,即可求得點A、B的坐標。
(2)設點C的橫坐標為n.利用勾股定理求出AB的長,過C作CE⊥x軸于E,過P作PG⊥x軸于G,PF⊥CE于F,證得∠FCP=∠OBA,PF=m-n.分兩種情況:①當m<3時;②當m>3時,得出PC=PG,再分別根據(jù)PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA;PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA,得出關于m、n的關系式,即可求出n的值。
(3)分三種情況:①當CB=CO時,根據(jù)點C的橫坐標建立方程,求出m的值;②當CB=OB時,根據(jù)OE+AE=OA,建立關于m的方程,求解即可。
③在線段AB上不存在點C,使OC=OB。
【考點精析】掌握等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理是解答本題的根本,需要知道等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角);切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

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