Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，E在AD上，AE=2，點F為AD上任意一點，點F與點A、點B不重合，過F作EC的平行線交BC于G．設BF=x，四邊形EFGC的面積為y．
（1）寫出y與x的函數解析式；
（2）x取何值時，EG⊥BC？

Answer 1

考點：等腰梯形的性質

專題：

分析：（1）作AM∥EC∥FG，AN⊥BC于N，根據平行線分線段成比例定理求得BG=2x，根據勾股定理求得AN，設三角形BFG中BG邊的高為h，則△AEF中AE上的高為4-h，根據AD∥BC得出

x

5-x

=

h

4-h

，解得h=

4

5

x，4-h=

16

5

x，最后根據EFGC的面積=S_梯形-S_△AEF-S_△GBF-S_△DEC即可求出表達式．
（2）根據要使EG⊥BC，則BG=5，即可求得．

解答：解：（1）作AM∥EC∥FG，AN⊥BC于N，
∴BN=

1

2

（BC-AD）=3，
∴AN=

AB2-BN2

=4，
設三角形BFG中BG邊的高為h，則△AEF中AE上的高為4-h，
∴

x

5-x

=

h

4-h

，解得h=

4

5

x，4-h=

16

5

x，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECM是平行四邊形，
∴CM=AE=2，
∴BM=10，
∵FG∥AM，
∴

BF

AB

=

BG

BM

，即

x

5

=

BG

10

，
∴BG=2x，
∵y=S_梯形-S_△AEF-S_△GBF-S_△DEC=

1

2

（AD+BC）•AN-

1

2

AE（4-h）-

1

2

BG•h-

1

2

ED•AN=

1

2

（6+12）×4-

1

2

×2×

16

5

x-

1

2

×2x×

4

5

x-

1

2

×4×4=-

4

5

x²-

16

5

x+28
∵y與x的函數關系式為y=-

4

5

x²-

16

5

x+28．
（2）要使EG⊥BC，則BG=5，
∴2x=5，
∴x=

5

2

∴當x為

5

2

時，EG⊥BC．

點評：本題考查了梯形的性質，平行線分線段成比例定理，用間接的方法求出四邊形EFGH的面積是解題的關鍵．