Question

18．如圖，拋物線(xiàn)y=-$\sqrt{3}$（x+1）（x-3）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D到直線(xiàn)BC和到x軸的距離相等時(shí)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為$（1，\frac{2}{3}\sqrt{3}）$或$（1，-2\sqrt{3}）$．．

Answer 1

分析 由題意得出A、B、C的坐標(biāo)，BM=2，對(duì)稱(chēng)軸x=1，點(diǎn)D在∠ABC或∠ABE的平分線(xiàn)上，再由三角函數(shù)分別求出DM即可．

解答 解：如圖所示：
∵拋物線(xiàn)y=-$\sqrt{3}$（x+1）（x-3）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)-$\sqrt{3}$（x+1）（x-3）=0時(shí)，x=-1，或x=3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3$\sqrt{3}$，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3$\sqrt{3}$），對(duì)稱(chēng)軸x=1，
∴BM=3-1=2，
當(dāng)點(diǎn)D到直線(xiàn)BC和到x軸的距離相等時(shí)，點(diǎn)D在∠ABC或∠ABE的平分線(xiàn)上，
①點(diǎn)D在∠ABC的平分線(xiàn)上時(shí)，
∵tan∠ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=30°，
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BM=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴D（1，$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$）；
②點(diǎn)D在∠ABE的平分線(xiàn)上時(shí)，∠ABE=180°-60°=120°，
∴∠ABD=60°，
∴DM=$\sqrt{3}$BM=2$\sqrt{3}$，
∴D（1，-2$\sqrt{3}$）；
故答案為：$（1，\frac{2}{3}\sqrt{3}）$或$（1，-2\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、角平分線(xiàn)的判定、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、角平分線(xiàn)的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．