Question

【題目】如圖，直線l1解析式為y=x+2，且與坐標軸分別交于A、B兩點，與雙曲線交于點P（﹣1，1）．點M是雙曲線在第四象限上的一點，過點M的直線l2與雙曲線只有一個公共點，并與坐標軸分別交于點C、點D，當四邊形ABCD的面積取最小值時，則點M的坐標為（　�。�

A. （1，﹣1） B. （2，﹣） C. （3，﹣） D. 不能確定

Answer 1

【答案】A

【解析】

先求出A、B兩點的坐標，有P（﹣1，1）在反比例函數(shù)圖象上求得解析式為y，設(shè)M點橫坐標為a，進而可得M點坐標（a，）；再設(shè)直線l2的解析式為y=bx+c，根據(jù)條件“過點M的直線l2與雙曲線只有一個公共點”，將M點坐標代入直線l2的解析式，求得用a表示的C、D兩點坐標．由A、B、C、D四點坐標，可得AC、BD的長，因為AC⊥BD，有S四邊形ABCDACBD，據(jù)此得到一個關(guān)于a的式子，通過化簡、配方即可求得S四邊形ABCD的最小值，故可得出a的值，由此得出結(jié)論．

∵直線l1解析式為y=x+2，且與坐標軸分別交于A、B兩點，∴A（﹣2，0），B（0，2）．

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y．

∵點P（﹣1，1）在反比例函數(shù)y的圖象上，∴k=xy=﹣1，∴反比例函數(shù)的解析式為y．

∵點M在第四象限，且在反比例函數(shù)y的圖象上，∴可設(shè)點M的坐標為（a，），其中a＞0．

設(shè)直線l2的解析式為y=bx+c，則ab+c，∴cab，∴y=bxab．

∵直線y=bxab與雙曲線y只有一個交點，∴方程bxab即bx2﹣（ab）x+1=0有兩個相等的實根，∴[﹣（ab）]2﹣4b=（ab）2﹣4b=（ab）2=0，∴ab，∴b，c，∴直線l2的解析式為y，∴當x=0時，y，則點D的坐標為（0，）；

當y=0時，x=2a，則點C的坐標為（2a，0），∴AC=2a﹣（﹣2）=2a+2，BD=2﹣（）=2．

∵AC⊥BD，∴S四邊形ABCDACBD（2a+2）（2）=4+2（a）=4+2[（）2+2]

=8+2（）2．

∵（）2≥0，∴S四邊形ABCD≥8，∴當且僅當（）2=0，即a=1時，四邊形有最小值，∴M（1，﹣1）．

故選A．