Question

已知點(diǎn)A是直線y=-3x+6與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在第四象限且在直線y=-3x+6上，線段AB 的長(zhǎng)度是3

5

．將直線y=-3x+6繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，記點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B₁，若點(diǎn)B₁恰好落在x軸上，則sin∠B₁AB的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，利用三角形相似就可以求出B的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)，過(guò)B₁作B₁E⊥AC，垂足為E，運(yùn)用面積法求出B₁E即解．

解答：解：如圖，設(shè)直線y=-3x+6與x軸交于點(diǎn)C，
則C（2，0）．
∴AC=

62+22

=2

10

，
過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，
∴△AOC∽△ADB，
∴

AC

AB

=

OC

DB

，
∴DB=

3 5 ×2

2 10

=

3

2

2

，
又∵

AC

AB

=

AO

AD

，
∴AD=

3 5 ×6

2 10

=

9

2

2

，
∴OD=

9 2

2

-6=

9 2 -12

2

，
∴點(diǎn)B（

3 2

2

，

9 2 -12

2

），
∴點(diǎn)B₁（-

3 2

2

，

9 2 -12

2

）．
當(dāng)直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在x負(fù)半軸上時(shí)，記點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B₁．
∵AB=3

5

，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB₁=AB=3

5

，
∴B₁O=

(- 3 2 2 )2+( 9 2 -12 2 )2

=3，
B₁C=5．
過(guò)B₁作B₁E垂直AC，垂足為E．
則有

1

2

×B₁E×AC=

1

2

×AO×B₁C，
∴B₁E=

6×5

2 10

=

3 10

2

，
在Rt△AB₁E中，sin∠B₁AB=

B1E

AB1

=

3 10 2

3 5

=

2

2

，
當(dāng)直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在x正半軸上時(shí)，記點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B₂．
則B₂O=3，
過(guò)B₂向AB作垂線B₂F，垂足為F．
∵∠B₁EC=∠B₂FC=90°，∠ECB₁=∠FCB₂
∴△B₁EC∽△B₂FC，
∴

B1E

FB2

=

B1C

CB2

，
∴FB₂=

3 10

10

，
在Rt△AFB₂中，sin∠B₂AF=

B2F

AB2

=

2

10

，
∴sin∠B₁AB的值是

2

2

或

3 10

10

．
故答案為

2

2

或

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)、相似三角形判定和性質(zhì)及三角函數(shù)定義，此外還考查了對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)．