【題目】如圖,拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點(diǎn),交x軸與D,C兩點(diǎn),連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).
(1)求拋物線的關(guān)系式和tan∠BAC的值;
(2)P為拋物線上一動點(diǎn),連接PA,過點(diǎn)P作PQ⊥OA交y軸于點(diǎn)Q,問:是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似?若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在AB上找一點(diǎn)M,使得OM+DM的值最小,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)拋物線解析式:y=x2﹣x+3;tan∠BAC=;(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為:(11,36),(,),(﹣1,6),(,);(3)M點(diǎn)坐標(biāo)(,).
【解析】
(1)C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式,解方程組求出m、n的值即可得拋物線的解析式,利用解析式可求出D點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線和直線交于A、B兩點(diǎn),解方程組可求得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知△ABC是直角三角形,進(jìn)而可求得tanBAC 的值.(2)設(shè)P(a,a2﹣a+3),根據(jù)QA=∠ACB=90°可知相似比為3或,分別討論點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方和下方兩種情況,根據(jù)相似比求出a的值即可的P點(diǎn)坐標(biāo);(3)由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AB的解析式,作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)O',可求出O′的坐標(biāo)當(dāng)O',M,D三點(diǎn)共線時,OM+DM值最小,連接O'D交AB于M,根據(jù)D、O′坐標(biāo)可求出O'D的析式,結(jié)合AB的解析式求出M的坐標(biāo)即可.
(1)∵拋物線y=x2+mx+n過點(diǎn)A(0,3),點(diǎn)C(3,0).
∴ ,
解得:n=3,m=﹣,
∴拋物線解析式:y=x2﹣x+3
當(dāng)y=0時,0=x2﹣x+3
∴x1=3,x2=2
∴D點(diǎn)坐標(biāo)(2,0)
∵拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點(diǎn)
∴,
解得: , ;
∴B點(diǎn)坐標(biāo)(4,1)
∵A(0,3),C(3,0),B(4,1)
∴AB=2,BC=,AC=3,
∵AB2=20,BC2=2,AC2=18
∴AB2=BC2+AC2.
∴∠ACB=90°
∴tan∠BAC==,
(2)設(shè)P(a,a2﹣a+3),
若點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方,則PQ=a>0
∵以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似,且∠PQA=∠ACB=90°
∴或,
若,則3AQ=PQ 即3[3﹣(a2﹣a+3)]=a
解得a=,a=0(不合題意舍去)
∴點(diǎn)P(,)
若,則AQ=3PQ 即[3﹣(a2﹣a+3)]=3a
解得:a=0(不合題意舍去),a=﹣1(不合題意舍去)
若點(diǎn)P在點(diǎn)A上方,且在y軸左側(cè),則PQ=﹣a>0
∵以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似,且∠PQA=∠ACB=90°
∴或
若,則3AQ=PQ,即3[(a2﹣a+3)﹣3]=﹣a
解得:a=0(不合題意舍去),a=(不合題意舍去)
若,則AQ=3PQ 即[(a2﹣a+3)﹣3]=﹣3a
解得:a=0(不合題意舍去),a=﹣1
∴點(diǎn)P(﹣1,6)
若點(diǎn)P在點(diǎn)A上方,且在y軸右側(cè),則PQ=a>0
∵以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似,且∠PQA=∠ACB=90°
∴或
若,則3AQ=PQ,即3[(a2﹣a+3)﹣3]=a
解得:a=0(不合題意舍去),a=,
∴點(diǎn)P(,)
若,則AQ=3PQ 即[(a2﹣a+3)﹣3]=3a
解得:a=0(不合題意舍去),a=11,
∴點(diǎn)P(11,36)
綜上所述:點(diǎn)P坐標(biāo)為:(11,36),(,),(﹣1,6),(,)
(3)∵A(0,3),B(4,1)
∴直線AB的解析式:y=﹣x+3
作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)O'(/span>,)
∴OM+DM=O'M+DM
根據(jù)兩點(diǎn)之間,線段最短,則當(dāng)O',M,D三點(diǎn)共線時,OM+DM值最。
連接O'D交AB于M
∵O'(,),D(2,0)
∴O'D解析式:y=12x﹣24
則
解得:
∴M點(diǎn)坐標(biāo)( ,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),其頂點(diǎn)為,連接、、,過點(diǎn)作軸的垂線.
(1)求點(diǎn),的坐標(biāo);
(2)直線上是否存在點(diǎn),使的面積等于的面積的倍?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分別找一點(diǎn)M,N,使三角形AMN周長最小時,則∠MAN的度數(shù)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料,每種飲料數(shù)量充足,某同學(xué)去該店購買飲料,每種飲料被選中的可能性相同.
(1)若他去買一瓶飲料,則他買到奶汁的概率是 ;
(2)若他兩次去買飲料,每次買一瓶,且兩次所買飲料品種不同,請用樹狀圖或列表法求出他恰好買到雪碧和奶汁的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+m與y=nx﹣5n(n≠0)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則關(guān)于x的不等式x+m>nx﹣5n>0的整數(shù)解為( )
A.3B.4C.5D.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元,銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元.
(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤;
(2)該商店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號的電腦共100臺,其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍,設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺,這100臺電腦的銷售總利潤為y元.
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②該商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺,才能使銷售總利潤最大?
(3)實(shí)際進(jìn)貨時,廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m(0<m<100)元,且限定商店最多購進(jìn)A型電腦70臺,若商店保持同種電腦的售價不變,請你根據(jù)以上信息及(2)中條件,設(shè)計(jì)出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于C、D兩點(diǎn),與y=交于A(m,2)、B(﹣2,n)兩點(diǎn).
(1)求m+n的值;
(2)連接OA、OB,若tan∠AOD+tan∠BOC=1.
①當(dāng)不等式k1x+b>時,請結(jié)合圖象求x的取值范圍;
②設(shè)點(diǎn)E在y軸上,且滿足∠AEO+∠AOD=45°,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實(shí)踐
問題情境
在綜合與實(shí)踐課上,老師組織同學(xué)們以“直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動.如圖1,矩形ABCD中,AD=2AB,連接AC,將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到某一位置,觀察圖形,提出問題并加以解決.
實(shí)踐操作
(1)如圖2,慎思組的同學(xué)將圖1中的△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A'B'C',此時B'C過點(diǎn)D,則∠ADB= 度.
(2)博學(xué)組的同學(xué)在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3,此時點(diǎn)C'落在CD的延長線上,連接BB',該組提出下面兩個問題:
①C'D和AB有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
②BB'和AC′有何位置關(guān)系?并說明理由.
請你解決該組提出的這兩個問題.
提出問題
(3)請你參照以上操作,將圖1中的△ABC旋轉(zhuǎn)至某一位置,在圖4中畫出新圖形,表明字母,說明構(gòu)圖方法,并提出一個問題,不必解答.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】∠A=65,∠B=75,將紙片一角折疊,使點(diǎn)C落在△ABC外,若∠2=20,則∠1的度數(shù)為 _______.
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