Question

【題目】(2016山東省泰安市第25題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)D、M分別在邊AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)D和M，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，與BC的交點(diǎn)為N．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P在直線DM上，且使△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)、y=-x-1；(2)、（﹣10，9）或（8，﹣9）

【解析】

試題分析：(1)、由正方形OABC的頂點(diǎn)C坐標(biāo)，確定出邊長，及四個角為直角，根據(jù)AD=2DB，求出AD的長，確定出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，確定出MO的長，即M坐標(biāo)，將M與D坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；(2)、把y=3代入反比例解析式求出x的值，確定出N坐標(biāo)，得到NC的長，設(shè)P（x，y），根據(jù)△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求出y的值，進(jìn)而得到x的值，確定出P坐標(biāo)即可．

試題解析：(1)、∵正方形OABC的頂點(diǎn)C（0，3），∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，

∵AD=2DB， ∴AD=AB=2， ∴D（﹣3，2）， 把D坐標(biāo)代入y=得：m=﹣6，

∴反比例解析式為y=﹣， ∵AM=2MO，∴MO=OA=1，即M（﹣1，0），

把M與D坐標(biāo)代入y=kx+b中得：，解得：k=b=﹣1，則直線DM解析式為y=﹣x﹣1；

(2)、把y=3代入y=﹣得：x=﹣2，∴N（﹣2，3），即NC=2，

設(shè)P（x，y）， ∵△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，

∴（OM+NC）OC=OM|y|，即|y|=9， 解得：y=±9，

當(dāng)y=9時(shí)，x=﹣10，當(dāng)y=﹣9時(shí)，x=8，則P坐標(biāo)為（﹣10，9）或（8，﹣9）．