【題目】如圖,點C是線段AB上除A、B外的任意一點,分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊三角形ACD和等邊三角形BEC,連結(jié)AEDCM,連結(jié)BDCEN,AEBD交于F

(1)求證:AE=BD;

(2)連結(jié)MN,仔細觀察△MNC的形狀,猜想△MNC是什么三角形?說出你的猜想,并加以證明.

【答案】(1)詳見解析;(2)△MNC是等邊三角形,理由詳見解析.

【解析】

(1)先由△ACD和△BCE是等邊三角形,可知AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,根據(jù)SAS定理可知△ACE≌△DCB,由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)由(1)中△ACE≌△DCB,可知∠CAM=∠CDN,再根據(jù)∠ACD=∠ECB=60°,A、C、B三點共線可得出∠DCN=60°,由全等三角形的判定定理可知,△ACM≌△DCN,故MC=NC,再根據(jù)∠MCN=60°可知△MCN為等邊三角形.

(1)證明:∵△ACD△BCE是等邊三角形,

∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,

∵∠DCA=∠ECB=60°,

∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,

△ACE△DCB中,

,

∴△ACE≌△DCB,

∴AE=BD;

(2)解:△MNC是等邊三角形.理由如下:

由(1)得,△ACE≌△DCB,

∴∠CAM=∠CDN,

∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三點共線,

∴∠DCN=60°,

△ACM△DCN中,

,

∴△ACM≌△DCN,

∴MC=NC,

∵∠MCN=60°,

∴△MCN為等邊三角形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖,ABCD,且ABCDEFAD上兩點,CEADBFAD.若CEa,BFb,EFc,則AD的長為(

A. a+cB. b+cC. ab+cD. a+bc

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【題目】如圖1,矩形鐵片ABCD的長為2a,寬為a; 為了要讓鐵片能穿過直徑為 的圓孔,需對鐵片進行處理(規(guī)定鐵片與圓孔有接觸時鐵片不能穿過圓孔);
(1)如圖2,M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點,若將矩形鐵片的四個角去掉,只余下四邊形MNPQ, ①則此時鐵片是什么形狀;
②給出證明,并通過計算說明此時鐵片都能穿過圓孔;

(2)如圖3,過矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點E、F(不與端點重合),沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個全等的直角梯形鐵片;
①當(dāng)BE=DF= 時,判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過圓孔,并說明理由;
②為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過圓孔,請直接寫出線段BE的長度的取值范圍.

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【題目】閱讀思考

我們知道,在數(shù)軸上|a|表示數(shù)a所對應(yīng)的點到原點的距離,這是絕對值的幾何意義,由此我們可進一步地來研究數(shù)軸上任意兩個點之間的距離,一般地,如果數(shù)軸上兩點A、B 對立的數(shù)用a,b表示,那么這兩個點之間的距離AB=|a﹣b|.也可以用兩點中右邊的點所表示數(shù)的減去左邊的點所表示的數(shù)來計算,例如:數(shù)軸上P,Q兩點表示的數(shù)分別是﹣1和2,那么P,Q兩點之間的距離就是 PQ=2﹣(﹣1)=3.

啟發(fā)應(yīng)用

如圖,點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a,點B對應(yīng)的數(shù)為b,且a、b滿足|a+3|+(b﹣2)2=0

(1)求線段AB的長;

(2)如圖,點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程2x+1=x﹣8的解,

①求線段BC的長;

②在數(shù)軸上是否存在點P使PA+PB=BC?若存在,直接寫出點P對應(yīng)的數(shù):若不存在,說明理由.

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【題目】分別寫有數(shù)0,21 , ﹣2,cos30°,3的五張卡片,除數(shù)字不同外其他均相同,從中任意抽取一張,那么抽到非負數(shù)的概率是(
A.
B.
C.
D.

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【題目】某市記者為了了解“霧霾天氣的主要成因”,隨機調(diào)查了該市部分市民,并對調(diào)查結(jié)果進行整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表:

組別

觀點

頻數(shù)(人數(shù))

A

大氣氣壓低,空氣不流動

80

B

地面灰塵大,空氣濕度低

m

C

汽車尾氣排放

n

D

工廠造成的污染

120

E

其他

60

請根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題:

(1)填空:m= , n=
(2)若該市人口約有100萬人,請你計算其中持D組“觀點”的市民人數(shù)是多少萬人?
(3)若在這次接受調(diào)查的市民中,隨機抽查一人,則此人持C組“觀點”的概率是多少?

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【題目】如圖,(1)指出DCABAC所截得的內(nèi)錯角;

(2)指出ADBCAE所截得的同位角;

(3)指出∠4與∠7,∠2與∠6,∠ADC與∠DAB各是什么關(guān)系的角,并指出各是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的.

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【題目】填寫推理理由,將過程補充完整:

如圖,已知ADBC于點D,EFBC于點F,AD平分BAC.求證:E=1.

證明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知),

∴∠ADC=∠EFC=90°(垂直的定義).

____________(_____________).

∴∠1=_____(_____________),

∠E=_____(_______________).

又∵AD平分∠BAC(已知),

_____________

∴∠1=∠E(等量代換).

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【題目】下面是某同學(xué)對多項式(x24x+2)(x24x+6+4進行因式分解的過程.

解:設(shè)x24x=y

原式=y+2)(y+6+4 (第一步)

=y2+8y+16 (第二步)

=y+42(第三步)

=x24x+42(第四步)

回答下列問題:

1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的_______

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填徹底不徹底)若不徹底,請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________

3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x22x)(x22x+2+1進行因式分解.

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