Question

【題目】已知拋物線y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．

（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE．一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=a（x+3）（x﹣1），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為（1，0），

∵直線y=﹣ x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

∴b=﹣3 ，

∴y=﹣ x﹣3 ，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣5 ，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣5 ），

∵點(diǎn)D在拋物線上，

∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5 ，

解得，a=﹣ ，

則拋物線的解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣1）=﹣ x2﹣2 x+3

（2）

解：

作PH⊥x軸于H，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），

當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí)，∠BAC=∠PBA，

∴tan∠BAC=tan∠PBA，即 ，

∴ ，即n=﹣a（m﹣1），

∴ ，

解得，m1=﹣4，m2=1（不合題意，舍去），

當(dāng)m=﹣4時(shí)，n=5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴ ，即AB2=ACPB，

∴42= ，

解得，a1= （不合題意，舍去），a2=﹣ ，

則n=5a=﹣ ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣ ）；

當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí)，∠CBA=∠PBA，

∴tan∠CBA=tan∠PBA，即 ，

∴ ，即n=﹣3a（m﹣1），

∴ ，

解得，m1=﹣6，m2=1（不合題意，舍去），

當(dāng)m=﹣6時(shí)，n=21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴ ，即AB2=BCPB，

∴42= ，

解得，a1= （不合題意，舍去），a2=﹣ ，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣ ），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣ ）和（﹣6，﹣ ）

（3）

解：

作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，

則tan∠DAN= = ，

∴∠DAN=60°，

∴∠EDF=60°，

∴DE= EF，

∴Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t= =BE+EF，

∴當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小，

則BE⊥DM，y=﹣4 ．

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線的解析式，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式；（2）作PH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=BE+EF時(shí)，t最小即可．本題考查的是二次函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的交點(diǎn)式、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．