Question

（本題滿分14分）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（–1，0），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△APQ沿PQ翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，請(qǐng)判定此時(shí)四邊形APDQ的形狀并求說明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

（1）y=x2﹣x﹣4．C（0，﹣4）；

（2）四邊形APDQ為菱形；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

【解析】

試題分析：（1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=x2+bx+c中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式及C坐標(biāo)．

（2）注意到P，Q運(yùn)動(dòng)速度相同，則△APQ運(yùn)動(dòng)時(shí)都為等腰三角形，又由A、D對(duì)稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．

（3）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設(shè)邊長(zhǎng)為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得 ，

∴y=x2﹣x﹣4．

∴C（0，﹣4）．

（2）四邊形APDQ為菱形．理由如下：

如圖，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)Q作，F(xiàn)Q⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四邊形AQDP為菱形

（3）存在．

如圖1，過點(diǎn)Q作QD⊥OA于D，此時(shí)QD∥OC，

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0）

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5，

∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，AB=4，

∴AQ=4．

∵QD∥OC，

∴，

∴，

∴QD=，AD=．

①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時(shí)AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，

設(shè)AE=x，則EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x，

∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2=x2，解得 x=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

②以Q為圓心，AQ長(zhǎng)半徑畫圓，交x軸于E，此時(shí)QE=QA=4，

∵ED=AD=，

∴AE=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

③當(dāng)AE=AQ=4時(shí)，

1．當(dāng)E在A點(diǎn)左邊時(shí)，

∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，

∴E（﹣1，0）．

2．當(dāng)E在A點(diǎn)右邊時(shí)，

∵OA+AE=3+4=7，

∴E（7，0）．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題