Question

如果一個點能與另外兩個點能構(gòu)成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點．同樣，點D也是A，B兩點的勾股點．
（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請在邊CD上作出A，B兩點的勾股點（點C和點D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A，B兩點的勾股點的個數(shù)；
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．過點P作直線l平行于BC，點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上．求PH的長．

Answer 1

分析：（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點；
（2）利用（1）中圖形得出C，D，E，F(xiàn)即可得出答案；
（3）求出MN的長度，根據(jù)勾股數(shù)的特點得出符合要求的點．

解答：解：（1）尺規(guī)作圖正確（以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點）

（2））∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1時，
∴以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個，加上C、D兩點，總共四個點4個；

（3）如圖，∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．
過點P作直線l平行于BC，點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上，
∴ME=4，NE=3，
∴MN=5，
PM=4，PH=2時，HM=2

5

構(gòu)成勾股數(shù)，
同理可得：
PH″=

13

4

或PH=2或PH′=3．

點評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及矩形的性質(zhì)和作圖與應(yīng)用作圖等知識，熟練地應(yīng)用勾股定理找出勾股點是此題的難點．