Question

如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

（1）在矩形ABCD中，AB=12，BC=6，邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

3

個(gè)；
（2）如圖1，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，DP=4，DM=8，AN=5．過點(diǎn)P作直線l平行于BC，點(diǎn)H為M、N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上，求PH的長(zhǎng)；
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，將紙片折疊，折痕分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G，若A、E兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)為BC邊的中點(diǎn)M，求折痕FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)有C、D，以及CD的中點(diǎn)；
（2）點(diǎn)H為M、N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，則分∠HNM=90°，∠HMN=90°，∠MHN=90°三種情況進(jìn)行討論，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得PH的長(zhǎng)；
（3）A、E兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)為BC邊的中點(diǎn)M，則應(yīng)分∠AEM=90°和∠AME=90°兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)∠AEM=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理可以得到AD²+DE²+CE²+CM²=BM²+AB²，設(shè)CE=x，即可得到關(guān)于x的方程，求得CE的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得FG的長(zhǎng)；
當(dāng)∠AME=90°時(shí)，由題意得以AE為直徑的圓與BC切于點(diǎn)M，設(shè)CE=x，則AE=x+12，在Rt△ADE中利用勾股定理即可求得CE的長(zhǎng)，從而求得FG的長(zhǎng)．

解答：解：（1）A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)有C、D，以及CD的中點(diǎn)，共3個(gè)，
故答案是：3；
（2）當(dāng)∠HNM=90°時(shí)，PH=

11

2

；
當(dāng)∠HMN=90°時(shí)，PH=2；
當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，

4

PH

=

6-PH

1

，
∴PH=3±

5

；
（3）當(dāng)∠AEM=90°時(shí)，AD²+DE²+CE²+CM²=AE²+EM²=AM²=BM²+AB²，
設(shè)CE=x，則6²+（12-x）²+x²+3²=3²+12²，
∴x=6±3

2

，
∵折痕分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G，
∴x=6+3

2

；
當(dāng)∠AME=90°時(shí)，由題意得以AE為直徑的圓與BC切于點(diǎn)M，設(shè)CE=x，AE=x+12，
在Rt△ADE中，6+（12-x）²=（12+x）²，
∴CE=

3

4

，∴DE=

45

4

，AE=

51

4

，
∵△ADE∽△FOE，
∴

OF

6

=

51 8

45 4

，
∴OF=

17

5

，
∴FG=

34

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，正確根據(jù)相似三角形的性質(zhì)把求線段的長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化成方程問題是關(guān)鍵，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．