【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.動點M以每秒1個單位長的速度,從點A沿線段AB向點B運動;同時點P以相同的速度,從點C沿折線C-D-A向點A運動.當(dāng)點M到達點B時,兩點同時停止運動.過點M作直線l∥AD,與線段CD的交點為E,與折線A-C-B的交點為Q.點M運動的時間為t(秒).
(1)當(dāng)t=0.5時,求線段QM的長;
(2)當(dāng)M在AB上運動時,是否可以使得以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形?若可以,請求t的值;若不可以,請說明理由.
(3)當(dāng)t>2時,連接PQ交線段AC于點R.請?zhí)骄?/span>是否為定值,若是,試求這個定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)QM=1;(2)t=1或或4;(3)為定值, .
【解析】試題分析:(1)過點C作CF⊥AB于F,利用直線平行得出Rt△AQM∽Rt△ACF,再利用對應(yīng)邊的比值相等求出即可;
(2)由于∠DCA為銳角,故有三種情況:
①當(dāng)∠CPQ=90°時,點P與點E重合,可得DE+CP=CD,從而可求t;②當(dāng)∠PQC=90°時,如備用圖1,容易證出Rt△PEQ∽Rt△QMA,再利用比例線段,結(jié)合EQ=EM﹣QM =4-2t,可求t;③當(dāng)P在AD上時,∠PCQ=90°,此時PD=CD,代入即可求出t的值;
(3)當(dāng)t>2時,如備用圖2,先證明四邊形AMQP為矩形,再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB,再利用比例線段可求.
試題解析:
解:(1)過點C作CF⊥AB于F,則四邊形AFCD為矩形.
∴CF=4,AF=2,
此時,Rt△AQM∽Rt△ACF,
∴ ,
即,
∴QM=1;
(2)根據(jù)題意可得當(dāng)0≤t≤2時,以C、P、Q為頂點可以構(gòu)成三角形為直角三角形,故有三種情況:
①當(dāng)∠CPQ=90°時,點P與點E重合,此時DE+CP=CD,即t+t=2,∴t=1;
②當(dāng)∠PQC=90°時,
如備用圖1,此時Rt△PEQ∽Rt△QMA,
∴ ,
由(1)知,EQ=EM﹣QM=4﹣2t,
而PE=PC﹣CE=PC﹣(DC﹣DE)=t﹣(2﹣t)=2t﹣2,
∴ ,
∴t= ;
③當(dāng)P在AD上時,∠PCQ=90°,此時PD=CD,所以t-2=2 ,所以t=4;
綜上所述,t=1或或4;
(3)為定值,
當(dāng)t>2時,如備用圖2,PA=DA﹣DP=4﹣(t﹣2)=6﹣t,
由(1)得,BF=AB﹣AF=4,∴CF=BF,∴∠CBF=45°,∴QM=MB=6﹣t,∴QM=PA,
∵AB∥DC,∠DAB=90°,∴四邊形AMQP為矩形,∴PQ∥AB,∴△CRQ∽△CAB,
∴ .
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題探究:
新定義:
將一個平面圖形分為面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“等積線”,其“等積線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“等積線段”(例如圓的直徑就是圓的“等積線段”)
解決問題:
已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2.
(1)如圖1,若AD⊥BC,垂足為D,則AD是△ABC的一條等積線段,直接寫出AD的長;
(2)在圖2和圖3中,分別畫出一條等積線段,并直接寫出它們的長度. (要求:圖1、圖2和圖3中的等積線段的長度各不相等)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校準備從體育用品商店一次性購買若干個籃球和足球(每個籃球的價格相同,每個足球的價格相同),購買1個足球和2個籃球共需270元;購買2個足球和3個籃球共需440元.
(1)問足球和籃球的單價各是多少元?
(2)若購買足球和籃球共24個,且購買籃球的個數(shù)大于足球個數(shù)的2倍,購買球的總費用不超過2220元,問該學(xué)校有哪幾種不同的購買方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一幢樓房AB背后有一臺階CD,臺階每層高0.2米,且AC=17.2米,設(shè)太陽光線與水平地面的夾角為α,當(dāng)α=60°時,測得樓房在地面上的影長AE=10米,現(xiàn)有一老人坐在MN這層臺階上曬太陽.(取1.73)
(1)求樓房的高度約為多少米?
(2)過了一會兒,當(dāng)α=45°時,問老人能否還曬到太陽?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=3x2+1和y=3(x﹣1)2 , 以下說法: ①它們的圖象都是開口向上;
②它們的對稱軸都是y軸,頂點坐標(biāo)都是原點(0,0);
③當(dāng)x>0時,它們的函數(shù)值y都是隨著x的增大而增大;
④它們的開口的大小是一樣的.
其中正確的說法有( )
A. 1個 B. 2 C. 3 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲轉(zhuǎn)盤被分成3個面積相等的扇形、乙轉(zhuǎn)盤被分成2個面積相等的扇形.小夏和小秋利用它們來做決定獲勝與否的游戲.規(guī)定小夏轉(zhuǎn)甲盤一次、小秋轉(zhuǎn)乙盤一次為一次游戲(當(dāng)指針指在邊界線上時視為無效,重轉(zhuǎn)).
(1)小夏說:“如果兩個指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)之和為6或7,則我獲勝;否則你獲勝”.按小夏設(shè)計的規(guī)則,請你寫出兩人獲勝的可能性分別是多少?
(2)請你對小夏和小秋玩的這種游戲設(shè)計一種公平的游戲規(guī)則,并用一種合適的方法(例如:樹狀圖,列表)說明其公平性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形M和點P(點P在M內(nèi)部或M上),給出如下定義:
如果圖形M上存在點Q,使得,那么稱點P為圖形M的和諧點.
已知點,,,.
(1)在點,,中,矩形的和諧點是_________________;
(2)如果直線上存在矩形的和諧點P,求出點P的橫坐標(biāo)t的取值范圍;
(3)如果直線上存在矩形的和諧點E,F,使得線段上的所有點(含端點)都是矩形的和諧點,且,求出b的取值范圍.
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