【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)、B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得∠APB=∠ACO成立?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)我們規(guī)定:對(duì)于直線l1:y=k1x+b,直線l2:y=k2x+b2,若直線k1k2=﹣1,則直線l1⊥l2;反過來也成立.請(qǐng)根據(jù)這個(gè)規(guī)定解決下列可題:
如圖2,將該拋物線向上平移過原點(diǎn)與直線y=kx(k>0)另交于C點(diǎn).點(diǎn)T為該二次函數(shù)圖象上位于直線OC下方的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)T作直線TM⊥OC′,重足為點(diǎn)M,且M在線段OC′上(不與O、C′重合),過點(diǎn)T作直線TN∥y軸交OC'于點(diǎn)N.若在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過程中,為常數(shù),試確定k的值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)存在,點(diǎn)P(﹣,或(﹣,﹣);(3)k=.
【解析】
(1)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;
(2)分點(diǎn)P在x軸上方、點(diǎn)P在x軸下方兩種情況,分別求解即可;
(3)OM==,ON=m,即可求解.
解:(1)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),
即﹣3a=﹣3,解得:a=1,
故拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣2x﹣3…①;
(2)tan∠APB=tan∠ACO=,
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí),
則直線BP的表達(dá)式為:y=﹣x+1…②,
聯(lián)立①②并解得:x=3(舍去)或﹣,故點(diǎn)P(﹣,);
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí),
同理可得:點(diǎn)P(﹣,﹣);
綜上,點(diǎn)P(﹣,或(﹣,﹣);
(3)設(shè)點(diǎn)T(m,m2﹣2m),直線ON的表達(dá)式為:y=kx…③,
∵TM⊥OC,則直線TM為:y=﹣x+b,
將點(diǎn)T的坐標(biāo)代入上式并解得:
直線TM的表達(dá)式為:y=﹣x+(m2﹣2m+)…④,
聯(lián)立③④并解得:x=,y=,
則OM==,ON=m,
=,
當(dāng)k=時(shí),=為常數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB⊥AC,CD、BE分別是△ABC的角平分線,AG∥BC,AG⊥BG,下列結(jié)論:①∠BAG=2∠ABF;②BA平分∠CBG;③∠ABG=∠ACB;④∠CFB=135°,其中正確的結(jié)論有( 。﹤(gè)
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年5月14日至15日,“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行,本屆論壇期間,中國同30多個(gè)國家簽署經(jīng)貿(mào)合作協(xié)議,某廠準(zhǔn)備生產(chǎn)甲、乙兩種商品共8萬件銷往“一帶一路”沿線國家和地區(qū),已知2件甲種商品與3件乙種商品的銷售收入相同,3件甲種商品比2件乙種商品的銷售收入多1500元.
(1)甲種商品與乙種商品的銷售單價(jià)各多少元?
(2)若甲、乙兩種商品的銷售總收入不低于5400萬元,則至少銷售甲種商品多少萬件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了落實(shí)國務(wù)院的指示精神,某地方政府出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策,使農(nóng)民收入大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品,已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元,市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價(jià)x(元/千克)有如下關(guān)系:y=﹣2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元.
(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí),每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?
(3)如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元,該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4.D是AB的中點(diǎn),P是平面上的一點(diǎn),且DP=1,連接BP、CP,將點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B′,連CB′,CB′的最大值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線(,b是常數(shù),且≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.并且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-1,0),B(3,0)
(1)①求拋物線的解析式;②頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_______;③直線BD的解析式為______;
(2)若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,求當(dāng)m為何值時(shí),四邊形PQOC的面積最大?
(3)若點(diǎn)M是拋物線在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥AC交軸于點(diǎn)N.當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為_______時(shí),四邊形MNAC是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0),點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D為二次函數(shù)的頂點(diǎn),DE為二次函數(shù)的對(duì)稱軸,點(diǎn)E在x軸上.
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)在拋物線A、C兩點(diǎn)之間有一點(diǎn)F,使△FAC的面積最大,求F點(diǎn)坐標(biāo);
(3)直線DE上是否存在點(diǎn)P到直線AD的距離與到x軸的距離相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC=12,E是線段AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過點(diǎn)A,C,E作直角三角形,則AE的長(zhǎng)度是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0).
(1)當(dāng),時(shí),求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)最小值;
(2)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(,),(,).若對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)值都不小于,求此時(shí)二次函數(shù)的解析式.
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