【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3,0),點C(0,3),點D為二次函數(shù)的頂點,DE為二次函數(shù)的對稱軸,點E在x軸上.
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);
(2)在拋物線A、C兩點之間有一點F,使△FAC的面積最大,求F點坐標(biāo);
(3)直線DE上是否存在點P到直線AD的距離與到x軸的距離相等?若存在,請求出點P,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3,D(﹣1,4);(2)F點坐標(biāo)為(﹣,);(3)存在,滿足條件的P點坐標(biāo)為(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣﹣1)
【解析】
(1)把代入得得到關(guān)于的方程組,然后解方程組即可求出拋物線解析式,再把解析式配成頂點式可得D點坐標(biāo);
(2)如圖2,作FQ∥y軸交AC于Q,先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,設(shè),則,則可表示出,,根據(jù)三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;
(3)設(shè),根據(jù)得到,最后分兩種情況求解即可得出結(jié)論.
解:(1)把代入得
,
∴ ,
∴拋物線的解析式為:,
∵,
∴點D的坐標(biāo)為:;
(2)如圖2,作FQ∥y軸交AC于Q,
設(shè)直線AC的解析式為,
把代入,
得,
解得,
∴直線AC的解析式為: .
設(shè),則,
∴,
∴=,
當(dāng)時,△FAC的面積最大,此時F點坐標(biāo)為(﹣,),
(3)存在.
∵D(﹣1,4),A(﹣3,0),E(﹣1,0),
∴,
設(shè),則,,如圖3,
∵∠HDP=∠EDA,∠DHP=∠DEA=90°
∴,
∴,
∴,
當(dāng)t>0時,,解得:,
當(dāng)t<0時,,解得: ,
綜上所述,滿足條件的P點坐標(biāo)為或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,每個小正方形的頂點叫格點,△ABC和△DEF的頂點都在格點上,結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題:
(1)畫出△ABC向上平移4個單位長度后所得到的△A1B1C1;
(2)畫出△DEF繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得到的△D1E1F1;
(3)△A1B1C1和△D1E1F1組成的圖形是軸對稱圖形嗎?如果是,請直接寫出對稱軸所在直線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點,拋物線 經(jīng)過點A、B,點P為直線AB上的一個動點,過P作y軸的平行線與拋物線交于C點, 拋物線與x軸另一個交點為D.
(1)求圖中拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點P在線段AB上運(yùn)動時,求線段PC的長度的最大值;
(3)在直線AB上是否存在點P,使得以O、A、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出此時點P 的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)、B(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在一點P,使得∠APB=∠ACO成立?若存在,求出點P的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
(3)我們規(guī)定:對于直線l1:y=k1x+b,直線l2:y=k2x+b2,若直線k1k2=﹣1,則直線l1⊥l2;反過來也成立.請根據(jù)這個規(guī)定解決下列可題:
如圖2,將該拋物線向上平移過原點與直線y=kx(k>0)另交于C點.點T為該二次函數(shù)圖象上位于直線OC下方的動點,過點T作直線TM⊥OC′,重足為點M,且M在線段OC′上(不與O、C′重合),過點T作直線TN∥y軸交OC'于點N.若在點T運(yùn)動的過程中,為常數(shù),試確定k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3在坐標(biāo)系中的位置如圖所示,它與x軸、y軸的交點分別為A,B,點P是其對稱軸x=1上的動點,根據(jù)圖中提供的信息,給出以下結(jié)論:①2a+b=0;②x=3是ax2+bx+3=0的一個根;③△PAB周長的最小值是+3.其中正確的是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,M、N、C三點的坐標(biāo)分別為(,1),(3,1),(3,0),點A為線段MN上的一個動點,連接AC,過點A作AB⊥AC交y軸于點B,當(dāng)點A從M運(yùn)動到N時,點B隨之運(yùn)動,設(shè)點B的坐標(biāo)為(0,b),則b的取值范圍是( 。
A.≤b≤1B.≤b≤1C.≤b≤D.≤b≤1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中, ,點在邊上移動(點不與點, 重合),滿足,且點、分別在邊、上.
()求證: .
()當(dāng)點移動到的中點時,求證: 平分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數(shù)根.
(1)m為何值時,四邊形ABCD是菱形?求出這時菱形的邊長;
(2)若AB的長為2,那么ABCD的周長是多少?
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