【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,且AC=80,BD=60.動(dòng)點(diǎn)M、N分別以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā),分別沿A→O→D和D→A運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí),M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求菱形ABCD的周長(zhǎng);
(2)記△DMN的面積為S,求S關(guān)于t的解析式,并求S的最大值;
(3)當(dāng)t=30秒時(shí),在線段OD的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得∠DPO=∠DON?若存在,這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)?并求出點(diǎn)P到線段OD的距離;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)200;(2)480;(3)2,.
【解析】
試題分析:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形、等腰三角形、中垂線、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識(shí)點(diǎn),涉及考點(diǎn)較多,有一定的難度.第(2)問(wèn)中,動(dòng)點(diǎn)M在線段AO和OD上運(yùn)動(dòng)時(shí),是兩種不同的情形,需要分類討論;第(3)問(wèn)中,滿足條件的點(diǎn)有2個(gè),注意不要漏解.
(1)根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì),求出菱形的周長(zhǎng);
(2)在動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中:①當(dāng)0<t≤40時(shí),如答圖1所示,②當(dāng)40<t≤50時(shí),如答圖2所示.分別求出S的關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值;
(3)如答圖4所示,作ON的垂直平分線,交EF于點(diǎn)I,連接OI,IN.過(guò)點(diǎn)N作NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分別為G,H.易得△DNG∽△DAO,由EF垂直平分OD,得到OE=ED=15,EG=NH=3,再設(shè)OI=R,EI=x,根據(jù)勾股定理,在Rt△OEI和Rt△NIH中,得到關(guān)于R和x的 方程組,解得R和x的值,把二者相加就是點(diǎn)P到OD的距離,即PE=PI+I(xiàn)E=R+x,又根據(jù)對(duì)稱性可得,在BD下方還存在一個(gè)點(diǎn)P′也滿足條件,故存在兩個(gè)點(diǎn)P,到OD的距離也相同,從而問(wèn)題解決.
試題解析:(1)如圖①)在菱形ABCD中,OA=AC=40, OD=BD=30,
∵AC⊥BD,
∴AD==50,
∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為200;
(2)(如圖②)過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AD于點(diǎn)H.
① (如圖②甲)①當(dāng)0<t≤40時(shí),
∵sin∠OAD===,
∴MH=t,
∴S=DN·MH=t2.
②(如圖②乙)當(dāng)40<t≤50時(shí),
∴MD=80-t,
∵sin∠ADO=-,
∴MH=(70-t),
∴S=DN·MH,
=-t2+28t
=-(t-35)2+490.
∴S=,
當(dāng)0<t≤40時(shí),S隨t的增大而增大,當(dāng)t=40時(shí),最大值為480.
當(dāng)40<t≤50時(shí),S隨t的增大而增大,當(dāng)t=40時(shí),最大值為480.
綜上所述,S的最大值為480;
(3)存在2個(gè)點(diǎn)P,使得∠DPO=∠DON.
(如圖④)作ON的垂直平分線,交EF于點(diǎn)I,連接OI,IN.
過(guò)點(diǎn)N作NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分別為G,H.
當(dāng)t=30時(shí),DN=OD=30,易知△DNG∽△DAO,
∴NG=24,DG=18.
∵EF垂直平分OD,
∴OE=ED=15,EG=NH=3,
設(shè)OI=R,EI=x,則
在Rt△OEI中,有R2=152+x2……①,
在Rt△NIH中,有R2=32+(24-x)2……②,
由①,②可得:,
∴PE=PI+I(xiàn)E=.
根據(jù)對(duì)稱性可得,在BD下方還存在一個(gè)點(diǎn)P′也滿足條件,
∴存在兩個(gè)點(diǎn)P,到OD的距離都是.
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(1)如圖1,在玩“24點(diǎn)”游戲時(shí),小明抽到以下4張牌:
請(qǐng)你幫他寫出運(yùn)算結(jié)果為24的算式:(寫出2個(gè)); 、 ;
(2)如圖2,如果、表示正,. 表示負(fù),J表示11點(diǎn),Q表示12點(diǎn).請(qǐng)你用下列4張牌表示的數(shù)寫出運(yùn)算結(jié)果為24的算式(寫出1個(gè)): .
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A. 乙的速度是4米/秒
B. 離開(kāi)起點(diǎn)后,甲、乙兩人第一次相遇時(shí),距離起點(diǎn)12米
C. 甲從起點(diǎn)到終點(diǎn)共用時(shí)83秒
D. 乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí),甲、乙兩人相距68米
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【題目】重慶統(tǒng)景溫泉風(fēng)景區(qū)被喻為“巴渝十二景”.為豐富旅游配套資源,鎮(zhèn)政府決定大力發(fā)動(dòng)農(nóng)戶擴(kuò)大柑橘和蔬菜種植面積,并取得了較好的經(jīng)濟(jì)效益.今年該鎮(zhèn)柑橘和蔬菜的收成比去年增加了80噸,其中柑橘的收成比去年增加了20%,蔬菜的收成比去年增加了30%,從而使今年的收成共達(dá)到了420噸.
(1)統(tǒng)景鎮(zhèn)去年柑橘和蔬菜的收成各是多少噸?
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(3)若甲種貨車的運(yùn)費(fèi)為每輛600元,乙種貨車的運(yùn)費(fèi)為每輛500元,在(2)的情況下,如何安排運(yùn)費(fèi)最少,最少為多少?
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其中正確結(jié)論的是 .(請(qǐng)把正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上)
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