Question

在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD是∠ABC的平分線，且CD⊥BD，AD=4，CD=2．
（1）求sin∠ABD；
（2）求S_{四邊形ABCD}．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：（1）延長(zhǎng)CD，交BA的延長(zhǎng)線于E，如圖，由于BD是∠ABC的平分線，CD⊥BD，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△BCE為等腰三角形，則CD=ED=2，∠C=∠E，BE=BC，再判斷AD為△EBC的中位線得到BC=2AD=8，即BE=8，然后在Rt△BDE中根據(jù)正弦的定義求解；
（2）作DF⊥BC于F，如圖，在Rt△BDC中，利用勾股定理計(jì)算出BD=2

15

，再利用面積法計(jì)算出DF，然后根據(jù)梯形的面積公式求解．

解答：解：（1）延長(zhǎng)CD，交BA的延長(zhǎng)線于E，如圖，
∵BD是∠ABC的平分線，CD⊥BD，
∴△BCE為等腰三角形，CD=ED=2，
∴∠C=∠E，BE=BC，
∵AD∥BC，
∴AD為△EBC的中位線，
∴BC=2AD=8，
∴BE=8，
在Rt△BDE中，sin∠EBD=

DE

AE

=

2

8

=

1

4

；
即sin∠ABD=

1

4

；
（2）作DF⊥BC于F，如圖，
在Rt△BDC中，
∵CD=2，BC=8，
∴BD=

BC2-CD2

=2

15

，
∵

1

2

BD•CD=

1

2

BC•DF，
∴DF=

2×2 15

8

=

15

2

，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

•（4+8）•

15

2

=3

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．