【題目】如圖,C為線段AE上一動點,(不與點A、E重合),在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交與點P,BE與CD交于點Q,連接PQ.
求證:(1)AD=BE
(2)△APC≌△BQC
(3)△PCQ是等邊三角形.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】
(1) 根據(jù)等邊三角形的三邊都相等,三個角都是60°,可以證明△ACD與△BCE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BE;
(2) 根據(jù)ADC≌△BEC來證明;
(3)證明△CDP≌△CEQ,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得PC=CQ,從而得到△CPQ是等邊三角形.
證明:(1)∵△ABC和△CDE是正三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BCE=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE;
(2)∵ADC≌△BEC,
∴∠ACP=∠BCQ,AC=BC,∠CAP=∠CBQ,
∴△APC≌△BQC(ASA);
(3)∵CD=CE,∠DCP=∠ECQ=60°,∠ADC=∠BEC,
∴△CDP≌△CEQ(ASA).
∴CP=CQ,
∴∠CPQ=∠CQP=60°,
∴△CPQ是等邊三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖像交矩形OABC的邊AB于點D,交邊BC于點E,且BE=2EC.若四邊形ODBE的面積為6,則k=.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】探究題
【問題提出】
已知任意三角形的兩邊及夾角(是銳角),求三角形的面積.
【問題探究】
為了解決上述問題,讓我們從特殊到一般展開探究.
探究:在Rt△ABC(圖1)中,∠ABC=90°,AC=b,BC=a,∠C=α,求△ABC的面積(用含a、b、α的代數(shù)式表示)
在Rt△ABC中,∠ABC=90°
∴sinα=
∴AB=bsinα
∴S△ABC= BCAB= absinα
(1)探究一:
銳角△ABC(圖2)中,AC=b,BC=a,∠C=α(0°<α<90°)
求:△ABC的面積.(用含a、b、α的代數(shù)式表示)
(2)探究二:
鈍角△ABC(圖3)中,AC=b,BC=a,∠C=α(0°<α<90°)
求:△ABC的面積.(用含a、b、α的代數(shù)式表示)
(3)【問題解決】
用文字敘述:已知任意三角形的兩邊及夾角(是銳角),求三角形面積的方法
是
(4)已知平行四邊形ABCD(圖4)中,AB=b,BC=a,∠B=α(0°<α<90°)
求:平行四邊形ABCD的面積.(用含a、b、α的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我市某商場有甲、乙兩種商品,甲種每件進價15元,售價20元;乙種每件進價35元,售價45元.
(1)若商家同時購進甲、乙兩種商品100件,設(shè)甲商品購進x件,售完此兩種商品總利潤為y 元.寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)該商家計劃最多投入3000元用于購進此兩種商品共100件,則至少要購進多少件甲種商品?若售完這些商品,商家可獲得的最大利潤是多少元?
(3)“五一”期間,商家對甲、乙兩種商品進行表中的優(yōu)惠活動,小王到該商場一次性付款324元購買此類商品,商家可獲得的最小利潤和最大利潤各是多少?
打折前一次性購物總金額 | 優(yōu)惠措施 |
不超過400元 | 售價打九折 |
超過400元 | 售價打八折 |
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【題目】如圖,在四邊形ABDC中,∠D=∠B=90°,點O為BD的中點,且AO平分∠BAC.
(1)求證:CO平分∠ACD;
(2)求證:OA⊥OC;
(3)求證:AB+CD=AC.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】第一中學組織七年級部分學生和老師到蘇州樂園開展社會實踐活動,租用的客車有50座和30座兩種可供選擇.學校根據(jù)參加活動的師生人數(shù)計算可知:若只租用30座客車x輛,還差5人才能坐滿;
(1)則該校參加此次活動的師生人數(shù)為 (用含x的代數(shù)式表示);
(2)若只租用50座客車,比只租用30座客車少用2輛,求參加此次活動的師生至少有多少人?
(3)已知租用一輛30座客車往返費用為400元,租用一輛50座客車往返費用為600元,學校根據(jù)師生人數(shù)選擇了費用最低的租車方案,總費用為2200元,試求參加此次活動的師生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】探究題
問題再現(xiàn):
數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法,借助這種方法可將抽象的數(shù)學知識變得直觀起來并且具有可操作性,從而可以幫助我們快速解題.初中數(shù)學里的一些代數(shù)公式,很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋.
例如:利用圖形的幾何意義證明完全平方公式.
證明:將一個邊長為a的正方形的邊長增加b,形成兩個矩形和兩個正方形,如圖1:
這個圖形的面積可以表示成:
(a+b)2或a2+2ab+b2
∴(a+b)2 =a2+2ab+b2
這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式.
(1)類比解決:
請你類比上述方法,利用圖形的幾何意義證明平方差公式.(要求畫出圖形并寫出推理過程)
(2)問題提出:如何利用圖形幾何意義的方法證明:13+23=32?
如圖2,
A表示1個1×1的正方形,即:1×1×1=13
B表示1個2×2的正方形,C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2個2×2的正方形,即:2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一個(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:13+23=(1+2)2=32
嘗試解決:
請你類比上述推導(dǎo)過程,利用圖形的幾何意義確定:13+23+33= . (要求寫出結(jié)論并構(gòu)造圖形寫出推證過程).
(3)問題拓廣:
請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究:13+23+33+…+n3= . (直接寫出結(jié)論即可,不必寫出解題過程)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,射線OP過Rt△ABC的邊AC、AB的中點M、N,AC=4cm,BC=4 cm,OM=3cm.射線OP上有一動點Q從點O出發(fā),沿射線OP以每秒1cm的速度向右移動,以Q為圓心,QM為半徑的圓,經(jīng)過t秒與BC、AB中的一邊所在的直線相切,請寫出t的所有可能值(單位:秒)
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