【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點P是AB下方的半圓上不與點A,B重合的一個動點,點C為AP中點,延長CO交⊙O于點D,連接AD,過點D作⊙O的切線交PB的廷長線于點E,連CE交AB于點F,連接DF.
(1)求證:△DAC≌△ECP;
(2)填空:
①四邊形ACED是何種特殊的四邊形?
②在點P運動過程中,線段DF、AP的數量關系是 .
【答案】(1)證明見解析;(2)①四邊形ACED是平行四邊形;②DF=AP,
【解析】
(1)由已知條件易得∠CDE=∠DCA=∠DCP=∠P=90°,由此可得四邊形DCPE是矩形,從而可得DC=EP,這樣結合AC=PC即可由“SAS”證得△DAC≌△ECP;
(2)①由(1)中所得△DAC≌△ECP可得AD=CE,∠DAC=∠ECP,從而可得AD∥CE,由此即可得到四邊形ACED是平行四邊形;②由OA=OD,AD∥CE易得∠DAO=∠ADC=∠DCF,由此可得A、C、F、D四點共圓,結合∠DAF=∠ADC可得在該圓中弦DF=AC,結合點C是AP的中點即可得到DF=AP.
(1)∵DE為切線,
∴OD⊥DE,
∴∠CDE=90°,
∵點C為AP的中點,
∴DC⊥AP,
∴∠DCA=∠DCP=90°,
∵AB是⊙O直徑,
∴∠APB=90°,
∴四邊形DEPC為矩形,
∴DC=EP,
∵在△DAC和△ECP中:,
∴△DAC≌△ECP;
(2)①∵△DAC≌△ECP,
∴AD=CE,∠DAC=∠ECP,
∴AD∥CE,
∴四邊形ACED是平行四邊形;
②∵OA=OD,
∴∠DAF=∠ADC,
∵AD∥CE,
∴∠ADC=∠DCF,
∴∠DAF=∠DCF,
∴A,C,F,D四點共圓,
又∵∠ADF=∠ADC,
∴AC=DF,
∵AC=AP,
∴DF=AP.
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【題目】如圖(a),將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起.
(1)若∠DCE=35°,∠ACB= ;若∠ACB=140°,則∠DCE= ;并猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關系,并說明理由;
(2)如圖(b),若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點A重合在一起,則∠DAB與∠CAE的大小有何關系,請說明理由;
(3)已知∠AOB=α,∠COD=β(都是銳角),如圖(c),若把它們的頂點O重合在一起,請直接寫出∠AOD與∠BOC的大小相等的關系(用含有α,β的式子表示).
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【題目】已知拋物線l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不為0)的頂點為M,與y軸的交點為N,我們稱以N為頂點,對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線,直線MN為拋物線l的衍生直線.
(1)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是 ,衍生直線的解析式是 ;
(2)若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求這條拋物線的解析式;
(3)如圖,設(1)中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為M,與y軸交點為N,將它的衍生直線MN先繞點N旋轉到與x軸平行,再沿y軸向上平移1個單位得直線n,P是直線n上的動點,是否存在點P,使△POM為直角三角形?若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】“足球運球”是中考體育必考項目之一.蘭州市某學校為了解今年九年級學生足球運球的掌握情況,隨機抽取部分九年級學生足球運球的測試成績作為一個樣本,按,,,四個等級進行統(tǒng)計,制成了如下不完整的統(tǒng)計圖.(說明:級:8分—10分,級:7分—7.9分,級:6分—6.9分,級:1分—5.9分)
根據所給信息,解答以下問題:
(1)在扇形統(tǒng)計圖中,對應的扇形的圓心角是_______度;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)所抽取學生的足球運球測試成績的中位數會落在_______等級;
(4)該校九年級有300名學生,請估計足球運球測試成績達到級的學生有多少人?
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【題目】如圖,已知二次函數的圖象經過點,與軸分別交于點,點.點是直線上方的拋物線上一動點.
(1)求二次函數的表達式;
(2)連接,,并把沿軸翻折,得到四邊形.若四邊形為菱形,請求出此時點的坐標;
(3)當點運動到什么位置時,四邊形的面積最大?求出此時點的坐標和四邊形的最大面積.
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【題目】如圖,拋物線(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,已知B點坐標為(4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)試探究△ABC的外接圓的圓心位置,并求出圓心坐標;
(3)若點M是線段BC下方的拋物線上一點,求△MBC的面積的最大值,并求出此時M點的坐標.
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【題目】“校園手機”現象越來越受到社會的關注,“六一”期間,記者隨機調查了某校若干名初四學生和家長對中學生帶手機現象的看法,統(tǒng)計整理并制作了如下兩幅統(tǒng)計圖.
(1)求這次調查的家長人數,并補全條形圖;
(2)求扇形圖中表示家長“贊成”的圓心角的度數;
(3)若南崗區(qū)共有初四學生10000名,請估計在這些學生中,對中學生帶手機現象持“無所謂”態(tài)度的人數是多少?
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