Question

【題目】已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正確的結(jié)論有________（填序號(hào)）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正確，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=EC，根據(jù)AD=AE=EC可求得④正確

解：①∵BD為△ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，

,

∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正確；
②∵BD為△ABC的角平分線，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正確；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE為等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∵BD為△ABC的角平分線，EF⊥AB，而EC不垂直與BC，
∴EF≠EC，
∴③錯(cuò)誤；
④過(guò)E作EG⊥BC于G點(diǎn)，

∵E是BD上的點(diǎn)，∴EF=EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，

,

∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG=BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，

,

∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
∴④正確．
故答案為：①②④．