Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于C點，點E在第一象限且四邊形ACBE為矩形．

（1）求∠BCE的度數(shù)；

（2）如圖2，F(xiàn)為線段BC上一動點，P為第四象限內拋物線上一點，連接CP、FP、BP、EF，M，N分別是線段CP，F(xiàn)P的中點，連接MN，當△BCP面積最大，且MN+EF最小時，求PF的長度；

（3）如圖3，將△AOC繞點O順時針旋轉一個角度α（0°＜α＜180°），點A，C的對應點分別為A'，C'，直線A'C'與x軸交于點G，G在x軸正半軸上且OG=．線段KH在直線A'C'上平移（ K在H左邊），且KH=5，△KHC是否能成為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點K的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）PF=；（3）滿足條件的點K的坐標為K（， ）或（， ）或（， ）或（， ）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）在Rt△OBC中，tan∠OBC=，推出∠OBC=30°，由四邊形ACBE是矩形，得出QB=QC，可得∠BCE=∠QBC=30°；

（2）如圖2中，作CD⊥y軸，FH⊥CD于H，EH′⊥CD于H′交BC于點F′，設P（m， ），根據(jù)S△PBC=S△POC+S△POB-S△OBC，構建二次函數(shù)，由重合時的性質確定點P的坐標，由CM=MP，FN=P，推出MN=CF，在Rt△FCH中，易知∠FCH=30°，FH=CF，得出FH=MN，進而得出MN+EF=EF+FH，從而知F與F′H與H′重合時，MN+EF的值最小，求出點F的坐標即可；

（3）如圖3中，作OM⊥KH與M，直線KH交y軸于點P，作CN⊥KH于N，，確定直線KH的解析式，求出點N的坐標，分三種情況分別求解即可解決問題.

試題解析：（1）如圖1中，設AB交CE于Q．

令y=0，得到x2﹣﹣3=0，

解得x=﹣或3，

∴A（﹣，0），B（3，0），

在Rt△OBC中，tan∠OBC==，

∴∠OBC=30°，

∵四邊形ACBE是矩形，

∴QB=QC，

∴∠BCE=∠QBC=30°．

（2）如圖2中，作CD⊥y軸，F(xiàn)H⊥CD于H，EH′⊥CD于H′交BC于F′．

設P（m， m2﹣m﹣3），

S△PBC=S△POC+S△POB﹣S△OBC=×3×m+×3×（﹣m2+m+3）﹣×3×3

=﹣m2+m

=﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴m=時，△PBC的面積最大，此時P（，﹣），

∵CM=MP，F(xiàn)N=NP，

∴MN=CF，

在Rt△FCH中，易知∠FCH=30°，

∴FH=CF，

∴FH=MN，

∴MN+EF=EF+FH，

∴當F與F′重合，H與H′重合時，MN+EF的值最小．

易知E（2，3），F(xiàn)′（2，﹣1），

∴PF==．

（3）如圖3中，作OM⊥KH于M，直線KH交y軸于P，作CN⊥KH于N．

在Rt△OMG中，易知，OM=，OM=，

∴MG==2，

∵tan∠POG==，

∴=，

∴OP=，

∴直線PG的解析式為y=﹣x+，

∵CN⊥PG，

∴直線CN的解析式為y=x﹣3，

由，解得，

∴N（，），

①當CK=CH時，NK=NH=，

點N向上平移個單位，向左平移2個單位得到K，

∴K（，）．

②當CK=KH時，設K（m，﹣m+），

∴m2+（﹣m++3）2=52，

解得m=，

∴K（，）或（，），

③當CH=KH=5時，同法可得H（，）或（，），

點H向上平移3個單位，向左平移4個單位得到K，

∴K（，）或（，），

綜上所述，滿足條件的點K的坐標為K（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．